HCR - Lecture 7

HCR - Human Eye vs Camera

• Human Eye:
  • Retina measures about $5\times 5$ cm${}^2$ and contains $10^8$ sampling elements (roots and cones).
  • Spectral resolution $\sim 0.01$° over a $150$° field of view (NOT evenly distributed)
  • $11$ bit/element, $10$ Hz resolution
  • ==Resulting in a total of $3$ GB/s (considering both eyes)==.

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• Camera
  • The cameras of today only archive information up to a rate of $12$MB/s (hundreds of times less than the human eye)
  • To get a 3d effect we use 2 cameras (one per eye) which project different 2D images, the brain does the rest:
    

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HCR - Cinema 3D

Using special lenses one eye sees one screen and the other eye another screen, showing different positions for the same object creates the sense of dept.

Same for virtual reality headsets (instead of special lenses it uses 2 lenses to project 2 different images)

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• Screen and Lenses
  • Dolby 3D systems (red and blue lenses) [Color Filters]
  • Real D systems [Polarizing Filters]
  • Xpand 3D systems [Eclipse Method] (Expensive but very good performance)

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HCR - Augmented Reality

Using special cameras (even a phone is sufficient) I can see 3D virtual objects in the real world.

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HCR - System of Ordinary Differential Equations

Differential Equations → ODE (Ordinary Differential Equation)

$$\dot{x}=f(x,t)$$

Need to keep the computation faster as possible, the allowed delays are up to some milliseconds, in case of haptic.

• Euler’s Method (1st order approximation)
• Mid Point Method (2nd order approximation)

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NOTE: 1 diff. eq. of order 2 can be splitted to 2 diff. eq.s of order 1:

$$\begin{array}{l}I\ddot{\Theta }(t)+\beta \dot{\Theta }(t)=\tau (t)\\ \\ \Rightarrow \left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\Theta \\ \dot{\Theta }\end{array}\right)\\ \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1(t)=x_2(t)\\ I{\dot{x}}_2(t)+\beta x_2(t)=\tau (t)\end{array}\\ \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -\frac{\beta }{I}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{I}\end{array}\right]\tau (t)\end{array}$$

System of 2 differential eq.s of order 1

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So given a differential equation of order 2 we can write in Matrix form:

$$\dot{\overline{x}}(t)=\overline{\overline{A}}\overline{x}(t)+\overline{B}\tau (t)$$Link to original

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HCR - Discrete Time

The computer works step, by step (discrete time)

Mathematical description of the system:

$$\overline{X}(t)=f(X(t),t)$$

(~ex.: eq. to describe the motion of my shoulder)

$\overline{X}(t_0)$ := STATE OF THE SYSTEM

I can find $\overline{X}(t_0+h)$ using the mathematical description of the system

NOTE: If i have to describe a system that has only to be seen by a human, my speed (frame rate) has to be above 20 Hz If you also have to give the sense of touch it has to increase above 1k Hz

→ VISION $>20$ Hz → TOUCH $>1k$ Hz

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HCR - Metodo di Eulero

Formula:$x(t_0+h)\simeq x(t_0)+h\cdot \dot{x}(t_0)$Where:

• $x$ is a vector, usually a $\left[3\times 1\right]$ vector.

It’s a good method but a little unstable, ==if $h$ is too big the system does not behave properly==. ~Ex.:

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• Cosa si intende per ‘Metodo di Eulero’, puoi fare degli esempi?
  (ChatGPT 4o)
  • ==Il Metodo di Eulero è un semplice metodo numerico utilizzato per risolvere equazioni differenziali ordinarie (ODE). In molte applicazioni, come la robotica e la simulazione fisica, le equazioni differenziali vengono utilizzate per descrivere il movimento e le dinamiche di sistemi complessi. Tuttavia, non sempre esiste una soluzione analitica (esatta) per queste equazioni, quindi si ricorre a metodi numerici come il metodo di Eulero per approssimare la soluzione==.
  • Concetto del Metodo di Eulero:
    • Il Metodo di Eulero approssima la soluzione di un'equazione differenziale risolvendo iterativamente l'equazione nel tempo.
      ==L’idea di base è quella di utilizzare l’informazione sulla derivata della funzione in un punto per predire il valore della funzione in un punto successivo==.
  • Equazione differenziale di base::
    • Considera un’equazione differenziale ordinaria di primo ordine:$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$Dove:
      • $y(t)$ è la funzione incognita che vogliamo approssimare.
      • $f(t,y)$ è una funzione nota che descrive il tasso di variazione di $y$ rispetto a $t$.
    • Il Metodo di Eulero ci permette di stimare i valori di $y(t)$ utilizzando un passo temporale discreto $\Delta t$.
  • ==Formula del Metodo di Eulero==:
    • Dato un valore iniziale $y(t_0)$ in $t_0$, il metodo di Eulero calcola il valore della funzione nel passo successivo $t_1=t_0+\Delta t$ come:$y(t_1)=y(t_0)+\Delta t\cdot f(t_0,y(t_0))$==Questo processo può essere ripetuto iterativamente per trovare la soluzione approssimata a $t_2=t_1+\Delta t$, $t_3=t_2+\Delta t$, e così via==.
  • Esempio 1: Crescita della popolazione:
    • Supponiamo di avere un modello molto semplice di crescita della popolazione, dove il tasso di crescita della popolazione è proporzionale alla popolazione stessa. L’equazione differenzialeè:$\frac{dP}{dt}=r\cdot P$Dove $P(t)$ è la popolazione al tempo $t$ e $r$ è la costante di crescita. Supponiamo che inizialmente, $P(0)=100$ e che $r=0.1$.
    • Applichiamo il Metodo di Eulero con un passo temporale $\Delta t=1$:
      1. Al tempo $t_0=0$, $P(0)=100$.$P(1)=P(0)+\Delta t\cdot r\cdot P(0)=100+1\cdot 0.1\cdot 100=110$
      2. Al tempo $t_1=1$, $P(1)=110$.$P(2)=P(1)+\Delta t\cdot r\cdot P(1)=110+1\cdot 0.1\cdot 110=121$
      3. Al tempo $t_2=2$, $P(2)=121$.$P(3)=P(2)+\Delta t\cdot r\cdot P(2)=121+1\cdot 0.1\cdot 121=133.1$E così via.
         Il metodo fornisce un’approssimazione della popolazione nel tempo.
  • Esempio 2: Oscillatore armonico semplice:
    • Consideriamo ora un sistema dinamico più complesso, come l’oscillatore armonico semplice, che descrive il movimento di una molla o di un pendolo, con l’equazione differenziale:$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x$Dove $x(t)$ è la posizione dell’oscillatore, $k$ è la costante elastica della molla, e $m$ è la massa. Questa è un’equazione differenziale del secondo ordine, ma può essere riscritta come un sistema di due equazioni del primo ordine:
      1. Definiamo la velocità $v(t)=\frac{dx}{dt}$, quindi l’equazione diventa:$\frac{dx}{dt}=v(t)$ $\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}x(t)$Applichiamo ora il Metodo di Eulero con passo $\Delta t$ per calcolare posizione e velocità nel tempo.
    • Supponiamo che inizialmente la posizione $x(0)=1$, la velocità $v(0)=0$, la costante elastica $k=1$, e la massa $m=1$.
      • Al passo iniziale $t_0=0$: $v(1)=v(0)+\Delta t\cdot \left(-\frac{k}{m}x(0)\right)=0+\Delta t\cdot (-1\cdot 1)=-\Delta t$ $x(1)=x(0)+\Delta t\cdot v(0)=1+\Delta t\cdot 0=1$Al passo successivo $t_1=t_0+\Delta t$: $v(2)=v(1)+\Delta t\cdot \left(-\frac{k}{m}x(1)\right)=-\Delta t+\Delta t\cdot (-1\cdot 1)=-2\cdot \Delta t$ $x(2)=x(1)+\Delta t\cdot v(1)=1+\Delta t\cdot (-\Delta t)=1-\Delta t^2$Questo processo continua per ogni passo temporale. Il Metodo di Eulero approssima quindi l’andamento dell’oscillatore armonico nel tempo.
  • ==Limiti del Metodo di Eulero==: - Precisione: ==Il Metodo di Eulero è relativamente semplice e veloce, ma non è molto preciso, soprattutto se il passo temporale $\Delta t$ è troppo grande. Errori di approssimazione si accumulano rapidamente==. - Stabilità: ==Per alcuni sistemi dinamici, come quelli con oscillazioni rapide (ad esempio l’oscillatore armonico), il metodo può essere instabile se $\Delta t$ non è abbastanza piccolo==.
    • Per risolvere problemi più complessi con maggiore precisione, si utilizzano metodi numerici più avanzati, come il Metodo di Eulero Modificato (o metodo del punto medio) o i metodi Runge-Kutta.
    • Spero che questo chiarisca il concetto di Metodo di Eulero e come viene applicato nella risoluzione numerica di equazioni differenziali!

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HCR - Mid Point Method

Formula (not the final one, read at the end):$x(t_0+h)=x(t_0)+h\dot{x}(t_0)+\frac{h^2}{2}\ddot{x}(t_0)$Where:

• $\dot{x}(t_0)=f(x(t),t)$
  ⇒ $x(t_0)=hf(x(t_0),t_0)+\frac{h^2}{2}\dot{f}(x(t_0),t_0)$

==I dont want to compute the derivative over time of $f(x(t_0),t_0)$==;
⇒ So we want the result of $\ddot{x}(t_0)$ using only $x(t_0)$ and $f(x(t),t)$, so we can:

Resulting in: Mid Point Method: $x(t_0+h)=x(t_0)+hf(x_0+\frac{h}{2}f(x_0))$

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