HCR - Transparency (Lecture)

Ricorda:

La transparenza è un concetto legato alla dinamica dell’ambiente composto da un robot che funge da interfaccia utente, ed in questo caso, un simulatore virtuale dell’oggetto e della sua dinamica.

Definizione di Trasparenza: “==Un sistema si definisce trasparente se l’unica dinamica è quella dell’oggetto virtuale==“.

Impedenza: Si definisce impedenza il rapporto tra forza e velocità di un robot:$Z=\frac{F}{V}$

Sistema dinamico di un semplice robot che funge da interfaccia utente:
Di sotto la spiegazionie/passaggi. #NOT_SURE_ABOUT_THIS Credo che in input sia necessaria solo $-J^{T}F(s)$ in quanto $\tau (s)$ viene data dalla controreazione, ovvero da $J^T\cdot F_h(s)=\tau (s)$.

Calcoli/Spiegazione del sistema dinamico:

1. Partiamo dal segeuente robot:
   
   E definiamo la sua dinamica come:$M{\ddot{x}}_0(t)=F-B{\dot{x}}_0(t)-k{x}_0(t)$
2. Applicando la trasformata di Laplace otteniamo:$M{s}^2{X}_0(s)=F_h(s)-Bs{X}_0(s)-k{X}_o(s)$
3. Definiamo la dinamica dell’interfaccia: $I_R\ddot{\theta }=\tau -J^{T}F-B_R\dot{\theta }$Dove:

• $I_R\ddot{\theta }$ : è il momento torcente complessivo dell’interfaccia.
• $\tau$ : momento torcente applicato dal robot.
• $J^{T}F$ : momento torcente applicato dell’utente, dove $J$ è la Jacobiana.
• $B_R\dot{\theta }$ : è l’attrito viscoso dei joints.

4. Applicando nuovamente Laplace a quest’ultima equazione troviamo:$s\cdot \Theta (s)={\left(I_{R}s+B_R\right)}^{-1}\left[\tau (s)-J^{T}F(s)\right]$
5. E definiamo l’impedenza dei joint come:$\left(I_{R}s+B_R\right):=Z_j$
6. Ricordando la definizone di $x_h$ data in precedenza, ovvero “la posizione dell’end-effector nell’ambiente virtuale”, la definizione di impedenza data in questa lezione:$F=Z\cdot V$Ed infine utilizziamo Lapace per scrivere:$V(s)=s\cdot X_h(s)$Quindi, possiamo dire che la dinamica del solo ambiente virtuale è data da:$F_h(s)=Z_E(s)\cdot s\cdot X_h(s)$
7. La forza totale percepita invece è:$F(s)=Z_{\text{MF}}(s)\cdot s\cdot x_h(s)$
8. Facendo gli opportuni calcoli andremo a trovare:$F(s)=\underset{Z_{MF}}{\underbrace{\left(-J^T{Z}_j{J}^{-1}+Z_E\right)}}\cdot s\cdot X_h(s)$
9. In fine per ottenere $Z_{MF}=Z_E$ ovvero, avere che l’impedenza percepita è uguale alla sola impedenza virtuale, quindi avere un sistema trasparente, dovremo portare:$-J^T{Z}_{\text{J}}{J}^{-1}=0$E ciò è possibile solo azzerando l’ineriza, quindi il peso del braccio e l’attrito dei joints.
   ==Ovviamente non è possibile portare a $0$ il peso del braccio e l’attrito dei joints, possimo solo avvicinarci ad un sistema propiamente trasparente==.

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La transparenza è un concetto legato alla dinamica dell’ambiente composto da un robot, che funge da interfaccia utente, e in questo caso, in simulatore virtuale dell’oggetto e della sua dinamica. Si definisce:

La dinamica nel simulatore è descrivibile attraverso:$M{\ddot{x}}_0(t)=F-B{\dot{x}}_0(t)-k{x}_0(t)$Il problema viene affrontato utilizzando la Trasformata di Laplace, la quale permette di transformare equazioni differenziali in algebriche. La trasformata di Laplace della derivata di una funzione, per condizioni iniziali nulle è la seguente:$\begin{array}{l}L\left[x_0(t)\right]=X_0(s)\\ L\left[{\dot{x}}_0(t)\right]=s\cdot X_0(s)\\ L\left[{\ddot{x}}_0(t)\right]=s^2\cdot X_0(s)\\ \Rightarrow M{s}^2{X}_0(s)=F_h(s)-Bs{X}_0(s)-k{X}_o(s)\end{array}$Si definisce impedenza il rapporto tra forza e velocità dell’oggetto:$Z=\frac{F}{V}$Quindi possiamo scrivere la formula di prima come:$\begin{array}{lcccc}& \Rightarrow & F(s)& =& Z(s)\cdot V(s)\\ & \downarrow & & & \\ & \Rightarrow & F_h(s)& =& Z(s)\cdot s\cdot X_0(s)\\ & |& & & \\ & |& F_h(s)& =& MsV(s)+BV(s)+k\frac{V(s)}{s}\\ & \downarrow & & \downarrow & \\ & \Rightarrow & F_h(s)& =& \underset{Z\text{ : impedenza della dinamica}}{\underbrace{\left(Ms+B+\frac{k}{s}\right)}}\cdot s\cdot X_0(s)\end{array}$Il problema è che esistono due dinamiche:

1. La dinamica del robot, la quale deve essere impercettibile.
2. La dinamica del simulatore, che è quella interessante.

Un sistema si definisce trasparente se l'unica dinamica è quella dell'oggetto virtuale.

Consideriamo ora questo sistema: La dinamica reale è data da:$I_R\ddot{\theta }=\tau -J^{T}F-B_R\dot{\theta }$Dove:

• $I_R\ddot{\theta }$ è il momento torcente complessivo dell’interfaccia.
• $\tau$ quello applicato dal robot
• $J^{T}F$ quello dell’utente, dove $J$ è la Jacobiana.
• $B_R\dot{\theta }$ è l’attrito viscoso dei joints.

Applicando Laplace a questa equazione:$\begin{array}{lcc}{I}_R{s}^2\Theta (s)& =& \tau (s)-J^{T}F(s)-B_{R}s\Theta (s)\\ & \downarrow & \\ \left(I_{R}s+B_R\right)s\Theta (s)& =& \tau (s)-J^{T}F(s)\\ & \downarrow & \\ s\cdot \Theta (s)& =& {\left(I_{R}s+B_R\right)}^{-1}\left[\tau (s)-J^{T}F(s)\right]\end{array}$Dove, possiamo definire l’impedenza dei joint* come:$\left(I_{R}s+B_R\right):=Z_j$Dunque il sistema dinamico diventa:
Se si assume $k_h$ molto alto, allora: $k_h(t)=k_p(t)$ e ${\dot{x}}_h(t)={\dot{x}}_p(t)={\dot{x}}_0(t)$ In quanto più rigido:$\begin{array}{lc}& \begin{array}{lcc}{F}_h(s)& =& k_h\left[X_h(s)-X_p(s)\right]\\ & \downarrow & \\ & =& Z(s)\cdot s\cdot X_0(s)\\ & \downarrow & \\ & =& Z(s)\cdot s\cdot X_h(s)\end{array}\\ \Rightarrow & F_h(s)=Z_E(s)\cdot s\cdot X_h(s)\text{(dinamica dell’ambiente virtuale )}\end{array}$In realtà la forza percepita è:$F(s)=Z_{\text{MF}}(s)\cdot s\cdot x_h(s)$Si riprende lo studio dell’effetto complessivo:
Per ottenere $F_h$ $\left(=Z_E(s)\cdot s\cdot X_h(s)\right)$ si deve quindi portare$-J^T{Z}_{\text{J}}{J}^{-1}=0$E ciò è possobile riducendo l’ineriza, quindi il peso del braccio e l’attrito dei joints.