HCR - Cambio del Sistema di Riferimento

• Cosa si intende per ‘Cambio del Sistema di Riferimento’, puoi fare degli esempi?
  (ChatGPT 4o)
  • Il cambio del sistema di riferimento è un concetto fondamentale in robotica e meccanica, utilizzato per descrivere il modo in cui le coordinate e le proprietà geometriche di un oggetto (come posizione e orientamento) vengono trasformate quando si passa da un sistema di riferimento a un altro.
  • ==Un sistema di riferimento è costituito da un insieme di assi cartesiani (di solito 3D: ($x$, $y$, $z$), usati per descrivere la posizione e il movimento di un oggetto==.
    Quando si cambia sistema di riferimento, si passa da un set di assi a un altro, magari con un'origine o un'orientazione differente.
  • Esempi di cambio del sistema di riferimento:
    1. Traslazione:
       Immagina di avere un robot che si trova in un punto $P(x,y,z)$ rispetto a un sistema di riferimento A (ad esempio, la base del robot).
       Se sposti questo robot in un altro punto, ad esempio un’altra stanza, hai cambiato il sistema di riferimento.
       Ora, la nuova posizione del robot deve essere descritta rispetto a un nuovo sistema B, che ha una nuova origine e, forse, un orientamento diverso.
       • La traslazione è un semplice spostamento dell'origine del sistema di riferimento. Se $O_A(x_A,y_A,z_A)$ è l’origine del sistema A, e $O_B(x_B,y_B,z_B)$ è l’origine del sistema B, puoi calcolare la nuova posizione del punto come:$P_B=P_A-O_A+O_B$
    2. Rotazione:
       Supponiamo che un braccio robotico abbia un oggetto fissato alla sua estremità (end effector).
       Se ruoti il braccio attorno a un’asse, l’orientamento dell’oggetto cambia rispetto al sistema di riferimento iniziale.
       ==Questo è un esempio di cambio di sistema di riferimento per rotazione. La rotazione è spesso rappresentata tramite una matrice di rotazione $R$, che può essere applicata alle coordinate di un punto==.
       • Ad esempio, se hai un punto $P(x,y,z)$ nel sistema di riferimento A, e vuoi descrivere la sua nuova posizione nel sistema B dopo una rotazione di un angolo $\theta$ attorno all’asse $z$, puoi usare una matrice di rotazione $R_z(\theta )$:$P_B=R_z(\theta )\cdot P_A$La matrice di rotazione lungo $z$ è:$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
    3. Rototraslazione (Combinazione di rotazione e traslazione):
       Spesso, in robotica, si ha una combinazione di traslazione e rotazione chiamata rototraslazione.
       In questo caso, per cambiare sistema di riferimento devi applicare sia una traslazione che una rotazione alle coordinate di un oggetto.
    • ==L’operazione di rototraslazione può essere eseguita utilizzando una matrice di trasformazione omogenea $T$, che combina sia la rotazione che la traslazione==:$T=\left[\begin{array}{cc}R& d\\ 0& 1\end{array}\right]$Dove $R$ è la matrice di rotazione e $d$ è il vettore di traslazione.
      Questa matrice può essere applicata ai vettori di posizione (descritti in coordinate omogenee) per ottenere la nuova posizione nel sistema di riferimento trasformato.
  • Applicazioni pratiche:
    • Braccio robotico: Supponiamo che tu abbia un braccio robotico con più segmenti (link), ognuno con il proprio sistema di riferimento locale.
      Per calcolare la posizione dell’end effector (la mano del braccio robotico) rispetto al sistema di riferimento globale, devi cambiare sistema di riferimento passando attraverso ogni giunto del braccio usando matrici di rotazione e traslazione.
    • Visione artificiale: Una telecamera montata su un robot potrebbe avere un sistema di riferimento differente rispetto al robot stesso. Per calcolare la posizione degli oggetti che la telecamera rileva rispetto al robot, devi cambiare sistema di riferimento dalla telecamera al robot.
  • In sintesi, il cambio di sistema di riferimento è una tecnica fondamentale per interpretare correttamente le posizioni e gli orientamenti degli oggetti nel contesto della robotica, specialmente quando si ha a che fare con più parti mobili o sistemi complessi.