HCR - Rendering Aptico (Lecture)

Index

• Calcoli per la Minimizzazione di una Distanza
• Normale di una Struttura Curva (Interpolazione)
• Calcolo della Normale della Forza da Applicare

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Calcoli per la Minimizzazione di una Distanza

Se $x_h$ si trova all’interno della superficie si può rispondere con una forza normale alla superficie:
È necessario ininnazitutto trovare $x_p$ il punto a distanza minore a $x_h$ sulla superficie in quanto:$F=k(x_h-x_p)$Trovare $x_p$ è un problema di minimizzazione sulla distanza, dunque:$d=\sqrt{(x_p-x_h{)}^T\cdot (x_p-x_h)}$Facendo i seguenti passaggi: $\begin{array}{l}1.{\min }_{\left(x_p\right)}d={\min }_{\left(x_p\right)}\frac{1}{2}{d}^2\\ 2.{\min }_{\left(x_p\right)}\sqrt{(x_p-x_h{)}^T\cdot (x_p-x_h)}\\ 3.\left(\text{Apllicando il metodo di Lagrange}\right)\\ \to {\min }_{\left(x_p,\lambda \right)}\frac{1}{2}{\left(x_p-x_h\right)}^T\cdot \left(x_p-x_h\right)+\lambda \left[\left(abc\right)x_p-d\right]\end{array}$ Dove:

• $\lambda$ è uno scalare.
• Il “metodo di Lagrange” viene anche chiamato “Lagrangiana”.
• $x_p$ appartiene al piano/triangolo, quindi possiamo scrivere: come “condizione” della lagrangiana: $g(x)=(abc)x_p-d=0$Che sta a significare appunto che $x_p$ fa parte del piano/triangolo.
• Ricorda che $d$ è una variabile, dipendente da $x_p$, la nostra incognita, ed $x_h$ vettore avatar che conosciamo/abbiamo stimato.
• Ricorda inoltre che il versore normale $\hat{n}$ del piano/triangolo è definito come:$\hat{n}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}(abc)$

Definiamo:$Q(x_p,\lambda )=\frac{1}{2}{\left(x_p-x_h\right)}^T\cdot \left(x_p-x_h\right)+\lambda \left[\left(abc\right)x_p-d\right]$Troveremo l’ottimo risolvendo il seguente sistema:$\{\begin{array}{l}\frac{\partial Q}{\partial x_p}=\left(x_p-x_h\right)-\lambda {\left(abc\right)}^T=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \lambda }=\left(abc\right)x_p-d=0\end{array}$Che possiamo riscrivere come:$\{\begin{array}{l}{x}_p-{\left(abc\right)}^T\lambda =x_h\\ \left(abc\right)x_p+0\cdot \lambda =d\end{array}$In fine lo possiamo riscrivere in forma di matrice:$\left[\begin{array}{cc}{I}_{3\times 3}& \begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\\ \begin{array}{lcc}a& b& c\end{array}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ d\end{array}\right]$Ricorda che:

• $d$ è una variabile e si esprime in funzione di $x_p$.

Per quanto riguarda $k$, deve essere alto in modo che la forza sia sufficiente, ma non abbastanza da permettere deformazioni eccessive. Bisogna però distinguere tra il $k$ del materiale reale e quello assunto dalla simulazione il quale sarà sempre minore per le limitazioni nella rappresentazione. $k$ deve essere sufficente alto da evitare l’incrocio in quanto si hanno più punti di contatto. Si usa un ulteriore $k$ diverso se la superficie è deformabile, e se viene deformata.

N.B.: Abbiamo chiamato $k$ in modo generale (coefficiente d’attrito generico), ma nelle prossime formule, andremo a definire:
NOT_SURE_ABOUT_THIS Non sono sicuro che quello che dico qui sia effettivamente la definizione di $k_0$ e $k_h$

• $k_0$ : coefficiente d’attrito reale (stimato) tra l’end-effector e la superficie da toccare/prendere.
• $k_h$ : coefficiente aptico, deciso arbitrariamente, il $k$ di cui si parla poco sopra è probabilmente questo $k_h$.

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Normale di una Struttura Curva (Interpolazione)

Si consideri un oggetto curvo, come una sfera. In generale la differenza temporale tra un’azione ed il feedback non può superare la frazione di secondo, in quanto si avrebbe la dissociazione dei due eventi. La computazione però potrebbe impiegare molto tempo dunque si deve cercare di usare meno dati possibili.

Si ipotizzi, per esempio, di voler approssimare la sfera con un cubo: le forze non possono essere dirette secondo normali a questo in quanto risulterebbe irrealistico:

Si potrebbe aumentare il numero di vertici, migliorando l’approssimazione, o si potrebbe utilizzare l’interpolazione:

1. Si consideri un punto sulla superficie reale e si calcolino i piani, considerando i punti adiacenti.
   Per ognuno di essi si detrmina la normale secondo $x,y,z$ la funzione del piano oppure:$\frac{1}{(a^2+b^2+c^2)}\cdot ⟨abc⟩$Dove:
   • $⟨abc⟩$ è un modo più carino di chiamare $(abc)$.NOT_SURE_ABOUT_THIS non so se sono la stessa cosa, e se effettivamente questa formula è corretta, ref: pagina 15 delle note scritte a mano
2. E facendo la media di queste si ottiene la normale al punto iniziale cioè:
   
   Equivalente a risolvere il seguente sistema:$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{l}{\vec{x}}_{p_1}^T\\ {\vec{x}}_{p_2}^T\\ {\vec{x}}_{p_3}^T\\ {\vec{x}}_{p_4}^T\\ {\vec{x}}_{p_5}^T\end{array}\right]\\ 5\times 3\end{array}\begin{array}{c}\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right]\\ 3\times 1\end{array}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ 5\times 1\end{array}$Dove:
   • $(abc{)}^T$ è l’incognita e consiste nella normale al piano definito da tutti i punti.
   • $x_{p_i}$ è la normale di uno dei piano/triangoli.

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Calcolo della Normale della Forza da Applicare

Tenendo allora conto della costruzione fatta, se si penetra nella superficie, bisogna stabilire la normale della forza da applicare. Si consideri inizialmente il caso bidimensionale rappresentato:
L’interpolazione permette di stabilire che:$N=\frac{d_2}{d_1+d_2}{N}_1+\frac{d_1}{d_1+d_2}{N}_2$Dove:

• $d_1=\overline{x_p{P}_1}$
• $d_2=\overline{x_p{P}_2}$
• E $P_1$, $P_2$, sono i punti/estremi del triangolo, o in questo caso del segmento (siamo nel caso bidimensionale)
• Inoltre:
  1. Se $d_1=0$, $N=N_1$.
  2. Se $d_2=0$, $N=N_2$.

Per il caso tridimensionale non si fa altro che applicare questo due volte:

• Come si può vedere meglio nel caso tridimensioale, le diverse forze normali ai vertici, quindi $N_1$, $N_2$, $N_3$, sono tutte diverse, nel caso bidimensionale questo non era chiarissimo.
  Possiamo quindi considerare $N$ o $N_{x_p}$ come un vettore pesato tra $N_1$, $N_2$ ed $N_3$

Inannzitutto va scelto un vertice e va proiettato sul lato opposto passando per $x_p$, il quale è conosciuto dalla collision detection. Si calcola poi la normale in $x_{pp}$ tramite l’interpolazione sul lato in cui si trova:$N_{x_{pp}}=\frac{d_{3_{pp}}}{d_{2_{pp}}+d_{3_{pp}}}{N}_2+\frac{d_{2_{pp}}}{d_{2_{pp}}+d_{3_{pp}}}{N}_3$Infine si interpola sulla proiezione per calcolare la normale ad $x_p$:$N_{x_p}=\frac{d_2}{d_1+d_2}{N}_1+\frac{d_2}{d_1+d_2}{N}_{x_{pp}}$

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