HCR - Matrice Jacobiana

• References:
  1. Jacobiana analitica
  2. Jacobiana della mano
  3. HCR - Calcolo della Matrice Jacobiana ‘della Mano’
  4. Exams:
     • HCR ~ Exam 2022-01-26

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• Matrice Jacobiana, definizione, spiegazione ed esempi:
  (ChatGPT 4o)
  • La matrice Jacobiana è uno strumento matematico utilizzato in robotica per descrivere la relazione tra le velocità dei giunti di un robot e la velocità (lineare e angolare) dell’end-effector.
    La Jacobiana è fondamentale per analizzare e controllare i movimenti dei manipolatori robotici, e permette di calcolare anche le forze e i momenti torcenti sui giunti a partire dalle forze applicate all’end-effector.
  • Definizione della Matrice Jacobiana:
    La matrice Jacobiana è una matrice che descrive il tasso di variazione della posizione e dell’orientamento dell’end-effector rispetto ai parametri dei giunti.
    Essa fornisce una mappatura tra le velocità dei giunti e le velocità dell’end-effector.
    • In un robot con $n$ gradi di libertà, la matrice Jacobiana $J(\theta )$ ha dimensioni $6\times n$, dove:
    • Le prime 3 righe descrivono la velocità lineare dell’end-effector rispetto agli assi $x$, $y$ e $z$.
    • Le ultime 3 righe descrivono la velocità angolare dell’end-effector rispetto agli assi $x$, $y$ e $z$.
    • In generale, la matrice Jacobiana si ottiene prendendo le derivate parziali della posizione e dell’orientamento dell’end-effector rispetto agli angoli dei giunti.
  • Relazione Cinematica:
    • Se consideriamo $q=[q_1,q_2,...,q_n{]}^T$ come il vettore degli angoli dei giunti e $\dot{q}=[{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,...,{\dot{q}}_n{]}^T$ come il vettore delle velocità dei giunti, la velocità dell’end-effector $v_{eff}$ è data da:$v_{eff}=J(q)\cdot \dot{q}$Dove:
    • $v_{eff}$ è il vettore di velocità dell’end-effector (che include sia velocità lineare che angolare).
    • $J(q)$ è la matrice Jacobiana che dipende dagli angoli dei giunti.
    • $\dot{q}$ è il vettore delle velocità angolari dei giunti.
  • Esempio Semplice: Braccio Robotico a 2 Giunti:
    • Consideriamo un braccio robotico a 2 giunti revoluti (simile al caso del piano 2D) con lunghezze dei segmenti $L_1$ e $L_2$.
      Gli angoli dei giunti sono ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$.
      Vogliamo calcolare la Jacobiana per ottenere la velocità dell’end-effector.
    • La posizione dell’end-effector $(x_{\text{eff}},y_{\text{eff}})$ è data dalle equazioni di cinematica diretta:$\begin{array}{l}{x}_{\text{eff}}=L_1\cos ({\theta }_1)+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ y_{\text{eff}}=L_1\sin ({\theta }_1)+L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}$La Jacobiana si ottiene derivando la posizione dell’end-effector rispetto agli angoli ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$:$J(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_{\text{eff}}}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial x_{\text{eff}}}{\partial {\theta }_2}\\ \frac{\partial y_{\text{eff}}}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial y_{\text{eff}}}{\partial {\theta }_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-L_1\sin ({\theta }_1)-L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& -L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ L_1\cos ({\theta }_1)+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}\right]$Questa è la matrice Jacobiana del braccio robotico a 2 giunti.
      La Jacobiana permette di calcolare la velocità dell’end-effector in termini delle velocità angolari dei giunti $\dot{{\theta }_1}$ e $\dot{{\theta }_2}$:$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{\text{eff}}\\ {\dot{y}}_{\text{eff}}\end{array}\right]=J(\theta )\cdot \left[\begin{array}{c}\dot{{\theta }_1}\\ \dot{{\theta }_2}\end{array}\right]$Dove ${\dot{x}}_{\text{eff}}$ e ${\dot{y}}_{\text{eff}}$ rappresentano le componenti della velocità lineare dell’end-effector.
  • Forze e Momenti:
    • La Jacobiana non è utile solo per calcolare le velocità, ma anche per analizzare le forze e i momenti nei giunti del robot.
      Conoscendo la forza applicata all’end-effector, è possibile calcolare i momenti torcenti ($\tau$) sui giunti.
    • Dato un vettore di forze applicate all’end-effector $F_{eff}$, i momenti torcenti $\tau$ sui giunti sono calcolati come:$\tau =J^T(q)\cdot F_{eff}$Dove $J^T(q)$ è la trasposta della Jacobiana.
  • Singularità della Matrice Jacobiana:
    Un concetto importante associato alla Jacobiana è quello delle singolarità.
    Una singolarità si verifica quando la matrice Jacobiana perde rango (il suo determinante diventa zero).
    In queste condizioni, il robot perde uno o più gradi di libertà nel movimento, e diventa impossibile controllare completamente l’end-effector.
    • Esempio di Singolarità: Nel braccio robotico a 2 giunti, una singolarità si verifica quando il braccio è completamente esteso o completamente ripiegato, perché in queste configurazioni il robot non è più in grado di muoversi lungo tutte le direzioni nel piano.
  • Esempio: Braccio Robotico a 3 Giunti nello Spazio 3D:
    • Consideriamo ora un braccio robotico a 3 giunti nello spazio tridimensionale.
      La posizione dell’end-effector è descritta dalle coordinate $(x,y,z)$ nello spazio 3D, e ogni giunto ruota attorno a un asse diverso.
    • Per un robot a 3 giunti, la Jacobiana sarà una matrice $3\times 3$ che descrive la velocità lineare dell’end-effector in funzione delle velocità angolari dei giunti ${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\theta }_3$.$J(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial x}{\partial {\theta }_2}& \frac{\partial x}{\partial {\theta }_3}\\ \frac{\partial y}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial y}{\partial {\theta }_2}& \frac{\partial y}{\partial {\theta }_3}\\ \frac{\partial z}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial z}{\partial {\theta }_2}& \frac{\partial z}{\partial {\theta }_3}\end{array}\right]$Questa Jacobiana consente di calcolare la velocità dell’end-effector e di analizzare le forze e i momenti torcenti sui giunti.
  • Applicazioni della Jacobiana in Robotica:
    1. Controllo dei Robot: La Jacobiana viene utilizzata nei controllori robotici per convertire le velocità dei giunti in velocità dell’end-effector e viceversa.
    2. Analisi delle Forze: È utilizzata per calcolare i momenti torcenti necessari nei giunti per sostenere le forze applicate all’end-effector.
    3. Cinematica Inversa: La Jacobiana è importante per risolvere problemi di cinematica inversa, poiché può essere utilizzata per iterare verso soluzioni che soddisfano i requisiti di posizione e orientamento dell’end-effector.
    4. Singolarità: Analizzare la Jacobiana aiuta a identificare configurazioni in cui il robot perde gradi di libertà (singolarità) e quindi a evitare queste configurazioni problematiche.
  • Sintesi:
    La matrice Jacobiana è un concetto chiave in robotica, utilizzato per collegare le velocità dei giunti con le velocità dell’end-effector e per calcolare le forze e i momenti torcenti.
    La sua importanza si estende alla cinematica, al controllo dei robot e all’analisi delle singolarità.
    Questa Jacobiana consente di calcolare la velocità dell’end-effector e di analizzare le forze e i momenti torcenti sui giunti.

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