Basi del Movimento

Il movimento è lo spostamento di un insieme di punti, di materia, secondo un qualche sistema di riferimento di 3 assi.
I movimenti possibili sono:

• La traslazione.
• La rotazione.

Il problema che affrontiamo è quello di conoscere la posizione e l'orientamento degli oggetti in riferimento ad un sistema (di riferimento) esterno:

Se due vettori sono nello stesso sistema di riferimento si possono sommare tramite la regola del parallelogramma per stabilire il vettore risultante.
Per trasporre il vettore in un altro sistema di riferimento si opera la somma tra il vettore, che dal secondo punta al corrente sistema nell'origine, e viene rapprensetato poi secondo il nuovo sistema.
Vediamo degli esempi per capire meglio:

Secondo Eulero le 3 componenti del vettore possono essere espresse come:Dove:

• and sono versori.

Lo si può scrivere anche come:Ovvero:L'obbietivo ora è determinare la matrice che permette di passare da un sistema di riferimento all'altro:Where:

• is a vector.
• is a matrix.
• is a vector.

Dunque gli assi che definiscono il secondo sistema di riferimento devono essere espressi secondo il primo.
Dato quando stabilito prima per un generico vettore:

Dove la matrice trovata è la matrice di rotazione . Essa è composta da soli valori , dal momento che tutti gli elementi sono versori.

~Ex.:

Da questo si può generalizzare che:Inoltre ricordando che:

⇒ Se: , allora: .

Le operazioni di roto-traslazione sono la combinazione di una traslazione e di una rotazione, vediamo un esempio:

Esiste per queste operazioni una tecnica più diretta, ovvero la funzione di trasformazione omogenea.

Per applicarla è necessario avere i vettori omogenei, i quali hanno un elemento aggiuntivo pari ad come ultimo elemento rispetto al vettore originale:

Esiste anche un'altra forma della matrice di rotazione, la quale ha come riferimento l'angolo tra l'asse delle ascisse di un sistema di riferimento e quello dell'altro sistema:

Direct Kinematics of a Robotic Manipulator

In genere un manipolatore robotico è un braccio robotico, ed in genere si rappresenta così:

Esso è generalmentee composto da linkers, i quali sono copri rigidi, e da joints, i quali contengono meccanismi che permettono il moviemetno relativo tra i linkers.
Esistono due categorie di joints:

1. Joints Prismatici: i quali permettono una traslazione.
2. Joints Revoluti: i quali permettono una rotazione.

Entrambi i tipi di joints conferiscono 1 grado di libertà al manipolatore.
L'insieme di linkers a di joints formano una catena cinemantica che in questo caso è aperta, mentre, se il manipolatre operasse un oggetto si diretta connessa.

L'interesse principale della cinematica diretta è quello di stabilire a priori la posizione dell'end effector, data una sequenza di comandi espressi sotto forma di angoli (si considerano solo joints revoluti).
Più utile è la cinenamtica inversa per cui, a partire dalla posizione che si vuole raggiungere, si determina la sequenza di comandi necessari ma è molto più complessa e non verra trattata.

In generale, secondo tale configurazione, la posizione dell'end effector può essere espressa come:

In questo caso si poteva arrivare al risultato anche attraverso la trigonometria, ma nel caso tridimensionale, si pò procedere solo in questo modo e si fa uso della convenzione delle tavole di Denavit-Hartenberg (Wikipedia: 'Convenzione di Denavit-Hartenberg)

Oltre alla posizione e all'orientamento dell'end effector, spesso si controlla anche la sua velocità, espressa in funzione della velocita dei joints, come:

A partire da ciò si può stabilire la forza esercitata sull'end effector, conoscendo i momenti torcenti dei joints e la loro potenza:

Grasping

Nello studio del problema del grasping non si modellerà e lavorerà con il braccio ma con la mano dal momento che l'azione del "grasp" non richiede sono di gestire contemporaneamente le dita ma anche di farle collaborare.
Inoltre i bracci robotici non sono di interesse al momento che non è difficile reperirli sul mercato, a differenza delle mani.
Ogni dito può essere pensato come un braccio robotico e l'obbiettivo è quello di muovere oggetti/solidi.

Molte aziende di logistica, come 'Amazon', investono in questo per poter automatizzare l'intero processo prima del transporto.
Se il controllo è centralizzato il controllore gestisce tutto ma si parla di collaborazione se si hanno più controllori indipendenti.

L'azione di manipolazione è divisibile in 3 parti:

1. Avvicinamento all'oggetto.
2. Instaurazione del contatto ed interazione.
3. Movimento dell'oggetto.

Ci si concentrerà principalmente sulle ultime due e si studieranno tramite metodi e modelli algebrici e non ci si baserà su architetture specifiche.
Innanzitutto bisogna distinguere tra i due tipi di grasping:

1. Grasping di potenza: dove l'obbiettivo è il movimento statico degli oggetti.
2. Grasping di precisione: che permette il movimento relativo tra l'oggetto ed il palmo, evitando il movimento del braccio.
   Il controllo è dato dai polpastrelli delle dita in modo che se ne possano sfruttare i gradi di libertà.

L'interazione con un oggetto è resa attraverso le forze esercitate dalle singole dita, infatti posizione e velocità degli oggetti sono conseguenze delle forze, ma ciò dipende anche dal modello del contatto.

Si consideri un sistema composto da due dita:

Poiché le due devono collaborare, non si possono usare due Jacobiane distinte, ma bisogna ricondursi ad'unica matrice, cioè bisogna pensare al tutto come un unico robot con due catene cinematiche.
In generale data una forze appicata ad un braccio , il procedimento per il calcolo del movimento torcente può essere "compresso" attraverso la screw matrix:

Mentre la direzione del vettore è data dalla regola della mano destra.
Tale matrice può essere utilizzata per qualsiasi prodotto vettoriale.
Siano date le forze di contatto ed i momenti torcenti nei singoli "joints", si vuole stabilre una relazione che li leghi direttamente:

Dove la matrice è la Jacobiana della mano (una matrice ) e la trasposizione è quella usata per le forze.

La potenza di contatto è data dalla somma delle potenze joints singoli, infatti la forza sull'end effector corrisponde ai momenti torcenti nei joints e la velocità lineare a quelle angolari:

Quindi in generale:Dove:

• : è la potenza di contatto.

Nel caso proposto si avrebbe che:

Ma dal momento che le forze hanno sempre il compoenente nullo, mentre al più l'ultimo elemento delle prime due righe di non sono nulli, allora l'unico componenete non nullo di è , come suggerisce la fisica:

Dunque il risultato precedente può essere così ridotto:

In generale la Jacobiana cambia in base alla configurazione del manipolatore (posizione links) e in base agli end effectors, i quali a loro volta dipendono da come viene afferrato un oggetto.

~Ex.:

In questo problema di questa configurazione consiste nell'impossibilità di stringere (squeeze) gli oggetti.
Da questo esempio emerge il concetto di kernel di una matrice, in particolare è kernel di dal momento che: E ciò vale per le forze direzionate lungo i link (push/pull) e lungo .
In altre parole i kernel sono tutte le forze che sono resistite non attraverso un momento torcente ma attraverso i vincoli meccanici dei joints.

Grasp Matrix

Come si è visto nel grasping alle forze applicate all'oggetto si contrappongono le forze vingolari di esso.
Si studia ora il provlema dal punto di vista dell'oggetto.
La matrice di grasp, permette di stabilire, a partire dalle forze di contatto, l'egfetto complessivo in termini di movimento.
Si considera da ora come sistema di riferimento o quello fissato nel baricentro dell'oggetto.
Lo spostamento in termini di traslazione e di rotazione può essere stabilito attraverso:

Le quali definiscono la dinamica dell'oggetto.
Si consideri la prima equazione, innanzitutto esistono 3 tipi di forze:

1. Forze di contatto.
2. Forze di gravità.
3. Forze ambientali.
   (*Quest'ultimo non verrà considerato.)

Si consideri il seguente esempio:

Per quanto riguarda la seconda equazione, è possible generare una rotazione (planare) sia tramite due o più forze, sia tramite l'applicazione di un momento torcente ma per trasmettere questo è necessario che l'end effector sia una superficie piatta, dunque si considerano solo le forze.

Si consideri il seguente esempio:

Unendo i due risultati si ottiene che:

Dove la matrice di grasp contiene tante colonne:Quanti sono i punti di conttatto diversi ().

~Ex.:

Si vogliono trovare ora i kernel di , nel caso di applicazione di due foze su un oggetto quadrato di lato :

In questo caso non c'è alcun movimento dell'oggeto am ciò è preceduto al grasp, cioè le forze applicate devono avere modulo e direzione tali che l'oggetto non scivoli e che ci sia sufficente attrito statico da mantenere la presa, anche in caso di forze esterne.
In termini vettoriali si deve far in modo che le risultanti delle forze ai punti di contatto rientrino sempre nel cono d'attrito:

Se una forza esterna tenta di portare via l'oggetto e se le forze della presa non aumentano, la presa viene persa.
In generale per risolvere questo problema è necessario conoscere la direzione normale nei punti di contatto ed il coefficiente di attrito.
La forza esterna che si tratterà principalmente è quella di gravità e con si indica il vettore:Il probema può essere formulato come:

Dove le forze al contatto sono le incognite, dunque:

In questo caso:Ma le forze non possono essere dirette parallelamente a quella di gravità perché non si avrebbe attrito con l'oggetto e scivolerebbe.
Dunque a queste vanno sommate forze dirette verso l'interno in modo che: rientri nel cono di attrito, per questo e :Per ottenere questo è necessario applicare il giusto momento torcente, con le due equazioni:

1. : che invertita permette di stabilire la forza al contatto da applicare per il grasp.
2. : che permette di stabilire il momento torcente necesarrio per applicare .

Nel grasping, però è importatnte avere misure in feedback delle forze applicate, conoscendo il momento torcente applicato.
Per avere queste informazione, dato il seguente sistema:

Dove:

• : è il numero di joints.
• : è in numero di contact points.

È necessario che ci siano più equazioni che variabili, cioè:Nel caso raffigurato di enveloping grasping è importante valutare le forze, infatti si hanno equazioni e variabili, ma non è rivelante che esse siano nel cono d'attrito, dal momento che l'oggetto è bloccato dalla presa.

Se il sistema non ha un nullspace, allora esso ha una sola soluzione ele forze devpno trovarsi necessariamente nel cono d'attrito per fare presa, ma se non lo fossero, non si potrebbe intervenire artificalmente.
Dunque è necessario che ci siano infinite soluzioni, cioè:Se è a rango massimo, si ha un grasp che può muoveere l'oggetto in ogni direzione.

Haptics

La tecnologia aptica è l'ultima frontiera della robotica del grasping e concerne la restituzione all'utente o l'adattamento della presa in funzione delle forze percepite.
In altre parole "haptics" significa interazione tattile.

I componenti necessari per tale interazione sono:

1. Misura del movimento, specificatamente misura del movimento di una certa parte del corpo, tramite una tecnologia appropiata.
2. Rilevamento delle collisioni tramite un'elaborazione della misura, ripsetto ad una rappresentazione dell'oggtto.
3. Rendering aptico tramite un attuatore per permetter "l'acknowledgment" all'effettività dell'azione svolta, restituendo una sensazione reale o simulata o un display aptico.

In termini matematici si traduce come:

Dove è relativo ad una superficie.

In generale la quantità di energia scambiata nell'interazione aptica è molto più alta rispetto agli altri tipi di interazione per questo non è un sistema efficiente per comunicare.
Il tocco è essenzialmente uno scambio di forze e per questo la robotica è il campo giusto da cui sviluppare interfaccie aptiche.
Il processo può essere così schematizzato:

Il "simulation engine" è quello che svolge i calcoli, così che si possa rivelare la collisione, restituire un feedback, e mostrare a schermo l'ambiente virtuale.

Collision Detection

Un oggetto virtuale è rappresentato da una nuvola di punti collegati da forme che ne definiscono e rappresentano approssivatimante la superficie e che sono triangoli.
Si è scelta tale forma in quanto non è detto che sia sempre possibile definire figure più complesse ed in quanto rappresentano bene le deformazioni delle superfici.
Ogni triangolo è identificato dai propi vertici:

Il rilevamento della collisione consiste nel determinare se si rientra nella bounding box che contiene parte della superficie dell'oggetto.
La box più piccola che contiene un triangolo.
Da ora in poi con si indentifica il vettore avatar a dimensioni.
Se è fuori la bounding box, si è sicuri che la superficie non viene toccata, dunque non si necessata di rispondere con alcuna forza.
Se è dentro, è necessario un bounding box più stringente e si deve calcolare in quale box si trova .
Ciò si ripete fino a che non si ricade nel caso precedente o fino a qunado non si arriva alle box minime:

La verifica del tocco si svolge lavorando sul triangolo come piano, descritto dall'equazione:Dove:

• è un punto qualsiasi del piano.
• sono coefficienti legati ai vertici del triangolo:
  

Un triangolo è dunque descritto da un sistema del tipo:

Che può essere normalizzato, dividendo per .

In generale se è nell'equazione del piano, , si ottiene:

1. se è sopra il piano, cioè non a contatto.
2. se tocca il piano ma ha probilità nulla come evento.
3. se tocca l'oggetto, cioè se deforma la superficie.

Dunque l'argoritmo di collision detection consiste in:

1. Costruire le bounding boxes:
   Nel caso planare un triangolo è un segmento e il piano una retta e si ha una nuvola di punti (e maglie triangolari) indiviruati da coordinate secondo un qualche sistema di riferimento.
   Per costruinre la box iniziale si considerano i valori minimi e massimi delle coordinate lungo tutti i componenti su tutta la nuvola.
2. Individuare , ovvero la posizione dell'avatar.
3. Esprimere il piano secondo l'equazione vista, calcolando dai vertici del triangolo.
4. Performare la collision detection:
   Ponendo nell'equazione del piano e studiare il segno del risultato.
   Se le coordinate di rientrano nel range della box allora può esserci contatto e si verifica in questo modom altrimenti non può e non è necessario alcun calcolo aggiuntivo.
5. Suddividere la bounding box: si suddivide la bounding box in ??? (penso 3 #NOT_SURE_ABOUT_THIS ) per ogni dimensione se si è potenzialmente in contatto e si ripete fino ad avere un solo triangolo (o segmento).
   Si ricalcola tutto al partire dal passo 3.

In teoria l'algoritmo viene eseguito sull'oggetto intero ma, consoscendo la posizione iniziale e la velocità del dito, si può restringere l'area, cioè il numero di triangoli su qui svolgere i calcoli.

Rendering Aptico

Se si trova all'interno della superficie si può rispondere con una forza normale alla superficie:

È necessario ininnazitutto trovare il punto a distanza minore a sulla superficie in quanto:Trovare è un problema di minimizzazione sulla distanza, dunque:Ovvero:

L'ottimo si trova risolvendo:

Per quanto riguarda , deve essere alto in modo che la forza sia sufficiente a non permettere deformazioni eccessive.
Bisogna però distinguere tra il del materiale reale e quello assunto dalla simulazione il quale sarà sempre minore per le limitazioni nella rappresentazione.
deve essere suffecentemente alto da evitare l'incocio in quanto si hanno più punti di contatto.
Si una un ulteriore diverso se la superficie è deformabile, e se viene deformata.

Si consideri un oggetto curvo, come una sfera.
In generale la differenza temporale tra un'azione ed il feedback non può superare la frazione di seconod, in quanto si avrebbe la dissociazione dei due eventi.
La computazione però potrebbe impiegare molto tempo dunque si deve cercare di usare meno dati possibili.
Si ipotizzi, per esempio, di voler approssimare la sfera con un cubo: le forze non possono essere dirette secondo normali a questo in quanto risulterebbe irrealistico:

Si potrebbe aumentare il numero di vertici, migliorando l'approssimazione, o si potrebbe utilizzare l'interpolazione: si consideri un punto sulla superficie reale e si calcolino i piani, considerando i punti adiacenti.
Per ognuno di essi si detrmina la normale secondo la funzione del piano oppure:Dove:

• è un modo più carino di chiamare . #NOT_SURE_ABOUT_THIS (non so se sono la stessa cosa, e se effettivamente questa formula è corretta, pagina 15 delle note scritte a mano)

E facendo la media di queste si ottiene la normale al punto iniziale cioè:

Equivalente a risolvere il seguente sistema:

Dove:

• è l'ingognita e consiste nella normale al piano definito da tutti i punti.

Tenendo allora conto della costruzione fatta, se si penetra nella superficie, bisogna stabilire la normale della forza da applicare.
Si consideri inizialmente il caso bidimensionale rappresentato:
L'interpolazione permette di stabilire che:

In particolare, che:

1. Se , .
2. Se , .

Per il caso tridimensionale non si fa altro che applicare questo due volte.
Inannzitutto va scelto un vertice e va proiettato sul lato opposto passando per , il quale è conosciuto dalla collision detection.
Si calcola poi la normale in tramite l'interpolazione sul lato in cui si trova:

Infine si interpola sulla proiezione per calcolare la normale ad :

Si consideri ora un oggetto fino (sottile): se è troppo in profondità l'algoritmo di collision detection riconoscerebbe dove più vicina la superficie inferiore e si avrebbe una forza diretta nel senso opposto:

Perciò va tenuta in memoria dello stato passato.
Per risolvere il problema, invece di prendere sulla superficie, si considera come centro di una sfera di raggio trascurabile, si traccia il segmento:Ed il piano intersecato è quello su cui unicamente va svolto l'algoritmo di collision detection:

Questa tecnica è detta algoritmo di possibilità virtuale.

Force Feedback

Finora si è trascurato l'attrito in quanto la forza applicata si assumeva perpendicolare alla superficie dunque la forza tangente è nulla.
Tenendo conto dell'attrito, data una forza non diretta lungo la normale, la forza reattiva, la quale è esattametne uguale e opposta, deve ricadere nel cono d'attrito.
Essa dunque è esprimibile come la somma dei componenti normale e tangente alla superficie:Dove:

• è il modulo della componente normale e il vettore normale.

Da :

Secondo l'agoritmo di rendering:

• : è la forza reattiva esercitata dagli attuatori sulle dita.
• : è la forza esercitata per muovere l'oggetto virtuale.

Un esempio sono: e .

Si consideri un oggetto rigido e si rappresenti il punto di contatto come una sfera di raggio nullo:

Cioè:Allora e non dipende da in quanto la superficie è non deformabile e l'oggetto è statico.
Si consideri ora un oggetto deformabile:Il modello più semplice per gli oggetti deformabile è la molla:

Per la quale: dove nella simulazione può essere fissato stimando quello reale della deformazione ma è diverso da quello dell'interfaccia aptica:

Dunque la forza necessaria per ottenere tale deformazione è:

Dove:

• Per corpi rigidi, e .
• Per corpi morbidi, e , e , allora avremmo lo stesso spostamento per entrambe.

Si consideri l'implementazione di questi risultati per creare un simulatore: è necessario costruire un sistema a controreazione che sia asintoticamente stabile


Si ha un polo in che deve essere stabile, dunque:

Per stabilità si intende che al tocco di un oggetto virtuale, la parte di superficie coinvolta si stabilizza ad un certo valore.
In realtà il sistema non ha dinamica ma la assume in simulazione, dal momento che i calcolatori campionano e aggiornano il sistema secondo diversi valori della forza.

Oggetti Dinamici

La dinamica in generale degli oggetti è descrivibile attraverso ode e il problema più grande in simulazione è trocare risolutori di equazioni differenziali al fine di avere il real-time.
Si fa dunque uso di semplificazioni.
Un esempio di oggetto dinamico è:


La quale è un ode di 2° ordine e dipende dal tempo.
Si approssima ad un sistema di due equazioni differenziali di 1° ordine:

La dimensione del vettore è pari all'ordine dell'equazione (quindi: ).
Risolvendolo:

Dunque riconducendo il tutto alla forma dove :

Si consideri ora lo spostamento di un oggetto in uno spazio 3D (esempio caso multivariable):

Si definisce lo stato:Per passare a equazioni differenziali di grado :

Dove: le componenti della massa sono uguali, ma quelle dell'inerzia sono diverse.

In generale:Ma i calcolatori lavorano nel discreto, per cui non esiste propriamente e:

Dove:

• è l'intervallo.
• .

Per determinare si utilizza il metodo di Eulero, il quale consiste nell'approssimare alla sua espansione di Taylor al primo oridne:

N.B.: Se si conoscessro tutte le derivate di in un punto si potrebbe prevederla in un futuro qualsiasi.

Tale approssimazione ha però forti limitazioni, si prenda ad esempio una molla:

Secondo l'equazione di Eulero:

Per la stabiltà sin impone che :

Dunque più che è alto, più diventa piccolo e peggiore è il real-time.
Il fatto che si ha un problema numerico fa capire che l'approssimazione è piuttosto grossolana.

Si utilizza dunque il metodo del mid-point, il quale considera il secondo termine derivato dell'espansione.

Si supponga di avere un sistema ad evoluzione libera:

La derivata secondo è stabilita sempre tramite l'espansione di Taylor svolta su :

Ma non si conosce , secondo il metodo:In modo da semplificare questa espressione.
Dunque sostituendo tutto nell'equazione iniziale:

Il termine aggiuntivo permette maggiori.

Transparency

La transparenza è un concetto legato alla dinamica dell'ambiente composto da un robot, che funge da interfaccia utente, e in questo caso, in simulatore virtuale dell'oggetto e della sua dinamica.
Si definisce:


La dinamica nel simulatore è descrivibile attraverso:

Il problema viene affrontato utilizzando la Trasformata di Laplace, la quale permette di transformare equazioni differenziali in algebriche.
Per condizioni iniziali nulle:

Si definisce impedenza il rapporto tra forza e velocità dell'oggetto:

Il problema è che esistono due dinamiche:

1. La dinamica del robot, la quale deve essere impercettibile.
2. La dinamica del simulatore, che è quella interessante.

Un sistema si definisce trasparente se l'unica dinamica è quella dell'oggetto virtuale.
La dinamica è data da:

Dove:

• è il momento torcente complessivo dell'interfaccia.
• quello applicato dal robot
• quello dell'utente.
• è l'attrito viscoso dei joints.

Applicando Laplace a questa equazione:

Se si assume molto alto, allora: e .
In quanto più rigido:

In realtà la forza percepita è:Si riprende lo studio dell'effetto complessivo:

Per ottenere si deve portareE ciò è possobile riducendo l'ineriza, quindi il peso del braccio e l'attrito dei joints.