HCR - Grasping (Lecture)

Ricorda:

Dati i bracci del manipolatore, costruire le screw matrices, per ogniuno di loro:$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\end{array}\right]\text{e}S(\vec{d})=\left[\begin{array}{ccc}0& -d_z& d_y\\ d_z& 0& -d_x\\ -d_y& d_x& 0\end{array}\right]$

~Ex.:
Bracci (come definire i bracci o joints di un manipolatore):${\vec{d}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\text{e}\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\text{e}\vec{d}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$Jacobiana della mano:$J^T=\left[\begin{array}{cc}S(d_1)& 0\\ 0& S(d_2)\\ 0& S(d_3)\end{array}\right]$Se la forza $F$ che vogliamo applicare appartiene al kernel di questa matrice $J^T$, allora non è possibile per il manipolatore, applicare questa forza all’oggetto.

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Nello studio del problema del grasping non si modellerà e lavorerà con il braccio ma con la mano dal momento che l’azione del “grasp” non richiede sono di gestire contemporaneamente le dita ma anche di farle collaborare. Inoltre i bracci robotici non sono di interesse al momento che non è difficile reperirli sul mercato, a differenza delle mani, dove ogni dito può essere pensato come un braccio robotico e l’obbiettivo è quello di muovere oggetti/solidi.

Molte aziende di logistica, come ‘Amazon’, investono in questo per poter automatizzare l’intero processo prima del transporto. Se il controllo è centralizzato il controllore gestisce tutto ma si parla di collaborazione se si hanno più controllori indipendenti.

L'azione di manipolazione è divisibile in 3 parti:

1. Avvicinamento all’oggetto.
2. Instaurazione del contatto ed interazione.
3. Movimento dell’oggetto.

Ci si concentrerà principalmente sulle ultime due e si studieranno tramite metodi e modelli algebrici e non ci si baserà su architetture specifiche. Innanzitutto bisogna distinguere tra i due tipi di grasping:

1. ==Grasping di potenza==: dove l’obbiettivo è il movimento statico degli oggetti.
2. ==Grasping di precisione==: che permette il movimento relativo tra l’oggetto ed il palmo, evitando il movimento del braccio.
   Il controllo è dato dai polpastrelli delle dita in modo che se ne possano sfruttare i gradi di libertà.

L’interazione con un oggetto è data dalle forze esercitate dalle singole dita, infatti posizione e velocità degli oggetti sono conseguenze di queste forze, ma ricordiamo che dipende anche dal modello del contatto.

Si consideri un sistema composto da due dita:

• ${\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3$: momenti torcenti dei joints.
• $F_1,F_2$ : forze esercitate dall’end effector, queste forze come si può vedere dalla figura, sono dovute ai momenti torcenti dei joints.

==Poiché le due devono collaborare, non si possono usare due Jacobiane distinte, ma bisogna ricondursi ad’unica matrice==, cioè bisogna pensare al tutto come un unico robot con due catene cinematiche. In generale data una forza $\vec{F}$ appicata ad un braccio $\vec{d}$, il procedimento per il calcolo del movimento torcente $\vec{\tau }$ può essere “compresso” attraverso la screw matrix:$\vec{d}\times \vec{F}=S(\vec{d})\cdot \vec{F}$Dove:$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\end{array}\right]\text{e}S(\vec{d})=\left[\begin{array}{ccc}0& -s_z& s_y\\ s_z& 0& -s_x\\ -s_y& s_x& 0\end{array}\right]$Mentre la direzione del vettore $\vec{\tau }$ è data dalla regola della mano destra. Tale matrice può essere utilizzata per qualsiasi prodotto vettoriale.

Siano date le forze di contatto ed i momenti torcenti nei singoli joints, si vuole stabilre una relazione che li leghi direttamente:$F_c=\left[\begin{array}{c}{F}_T\\ F_I\end{array}\right]\text{e}\tau =\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ {\tau }_2\\ {\tau }_3\end{array}\right]$Inoltre da ciò che si è visto:$V_T=J_T\cdot {\dot{\theta }}_1\text{e}{V}_I=J_I\cdot \left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_2\\ {\dot{\theta }}_3\end{array}\right]$Da cui si ottiene:$\left[\begin{array}{c}{V}_T\\ V_I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J}_T& 0\\ 0& J_I\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\\ {\dot{\theta }}_3\end{array}\right]$Dove:

• $0$ o $\vec{0}$ è un vettore o più in generale una sottomatrice composta di soli $0$.
• $V$ è il vettore di velocità dell’end effector.
• $J$ è la Jacobiana, $J_T$ ed $J_I$ distinguono le due Jacobiane legate alle due catena cinematiche dell’esempio.
• $\dot{\theta }$ è la velocità angolare.
• E la matrice:$\left[\begin{array}{cc}{J}_T& \vec{0}\\ \vec{0}& J_I\end{array}\right]$È la Jacobiana della mano (una matrice $\left[9\times 6\right]$), e la sua trasposizione è quella usata per le forze.

La potenza di contatto è data dalla somma delle potenze $M$ joints singoli, infatti la forza sull’end effector corrisponde ai momenti torcenti nei joints e la velocità lineare a quelle angolari:$\begin{array}{l}{\tau }_1{\dot{\theta }}_1+{\tau }_2{\dot{\theta }}_2=F_I^T{V}_I^{}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{\tau }_1& {\tau }_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\end{array}\right]=F_I^T\cdot J\cdot \left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\end{array}\right]\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cc}{\tau }_1& {\tau }_2\end{array}\right]\cdot =F_I^T\cdot J\\ \Rightarrow {\vec{\tau }}_I=F_I^T\cdot J\end{array}$Quindi in generale:$\tau =J^T{F}_e$Dove:

• $\tau$ : è la potenza di contatto.NOT_SURE_ABOUT_THIS $\tau$ è il momento torcente, $\dot{\theta }$ è la velocità angolare, e $\tau \cdot \dot{\theta }$ è la potenza meccanica di un giunto, questo \tau NON è la potenza di contatto, è il vettore che rappresenta i momenti torcenti dei due giunti
• $F_e$: forza dell’end effector.

Nel caso proposto si avrebbe che:$\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ {\tau }_2\\ {\tau }_3\end{array}\right]=J^T\left[\begin{array}{c}{F}_T\\ F_I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}S(d_1)& 0\\ 0& S(d_2)\\ 0& S(d_3)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_T\\ F_I\end{array}\right]$ #NOT_SURE_ABOUT_THIS Come è possibile definire la jacobiana in questo modo??? Dove:

• Le dimensioni della jacobiana sono quindi:NOT_SURE_ABOUT_THIS interpretazione mia$(3\cdot n_j)\times (3\cdot n_c)$Dove:
  • $n_j$ : numero di joints.
  • $n_c$ : numero di contact points.
• Inoltre per capire meglio ecco una Jacobiana con 3 contact points e 5 joints:NOT_SURE_ABOUT_THIS interpretazione mia:$\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ {\tau }_2\\ {\tau }_3\\ {\tau }_4\\ {\tau }_5\end{array}\right]=J^T\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}S(d_1)& 0& 0\\ S(d_2)& 0& 0\\ 0& S(d_3)& 0\\ 0& S(d_4)& 0\\ 0& 0& S(d_5)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right]$Ricorda che

Ma dal momento che le forze hanno sempre il compoenente $z$ nullo, mentre al più l’ultimo elemento delle prime due righe di $S(d)$ non sono nulli, allora l’unico componenete non nullo di $\tau$ è $z$, come suggerisce la fisica:
Dunque il risultato precedente può essere così ridotto:

In generale la Jacobiana cambia in base alla configurazione del manipolatore (posizione links) e in base agli end effectors, i quali a loro volta dipendono da come viene afferrato un oggetto.

~Ex.:
Definiamo i bracci del manipolatore: $d_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\text{e}{d}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$Quindi, definiamo le rispettive screw matricies:$S(d_1)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\text{e}S(d_2)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$Definiamo la Jacobiana:
NOT_SURE_ABOUT_THIS Come è possibile definire la jacobiana in questo modo??? $J=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$In questo problema di questa configurazione consiste nell’impossibilità di stringere (squeeze) gli oggetti.

• N.B.: La prima e quarta colonna sono uguali a $0$, queste colonne corrispondono alle componenti $x$ di entrambe le forze $F_1$ ed $F_2$.
• Da questo esempio emerge il concetto di kernel di una matrice, ==in particolare $F$ (la forza) appartiene al kernel di $J$== dal momento che: $F^T\cdot J=0$E ciò vale per le forze direzionate lungo i link (push/pull) e lungo $z$.
  In altre parole i kernel sono tutte le forze che sono resistite non attraverso un momento torcente ma attraverso i vincoli meccanici dei joints.

In conlusione:NOT_SURE_ABOUT_THIS Conclusioni pesonali

• Se la forza che vogliamo imporre all’oggetto tramite il manipolatore, in questo caso per esempio una coppia di forze:$\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$E questo vettore appartiene al kernel di $J$, allora non esiste nessuna combinazione/valore di $\tau$ che permetta al robot di imporlo, in questo caso il robot non è in grado di tenere fermo l’oggetto applicando due forze uguale e contrarie lungo l’asse $x$ dell’oggetto, basta vedere il disegno per capirlo.

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• Esempio Originale (si usa una jacobiana ridotta, mi sembrava non troppo chiaro): NOT_SURE_ABOUT_THIS Inoltre la seguente definizione dei bracci non rispetta quello che è stato detto precedentemente: come definire i bracci o joints di un manipolatore, ma la screw matrix la rispetta
  • ~Ex.:
    
    In questo problema di questa configurazione consiste nell’impossibilità di stringere (squeeze) gli oggetti.
  • Da questo esempio emerge il concetto di kernel di una matrice, in particolare $F$ è kernel di $J$ dal momento che: $F^T\cdot J=0$E ciò vale per le forze direzionate lungo i link (push/pull) e lungo $z$.
    In altre parole i kernel sono tutte le forze che sono resistite non attraverso un momento torcente ma attraverso i vincoli meccanici dei joints.