HCR - Oggetti Dinamici (Lecture)

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Esempio ODE Standard:
Formula (ODE 2° ordine):$M\ddot{x}+B\dot{x}+kx=F$Approssimazione ad un sistema di due equazioni differenziali di 1° ordine:$x=\left(\begin{array}{l}x\\ \dot{x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$Riconducendo il tutto alla forma $\dot{x}=Ax+Bu$ dove $u=F$ :$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{M}& -\frac{B}{M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{M}\end{array}\right]F$In generale defineremo:$\dot{x}(t)=F(x(t),u(t))$Ma i calcolatori lavorano nel discreto, per cui $\dot{x}(t)$ non esiste propriamente, e:$x(t)\to x(t_0+kh)\Rightarrow F\left(x(t_0+kh));u(t_0+kh)\right)$Dove:

• $h$ è l’intervallo.
• $k\in \mathbb{N}$ .
  IMPORTANTE Vengono usate le stesse lettere come nell’algoritmo di rendering, ma in questo caso $k$ è un numero puro intero, $h$ è una costante di tempo.

Per determinare $\dot{x}$ si utilizza il metodo di Eulero, il quale consiste nell’approssimare $F$ alla sua espansione di Taylor al primo ordine:$x(t_0+h)=x_0+{\frac{dx}{dt}|}_{t_0}\cdot h=x_0+F\left(x(t_0);u(t_0)\right)\cdot h$N.B.: Se si conoscessro tutte le derivate di $F$ in un punto si potrebbe prevederla in un futuro qualsiasi. Quindi possiamo dire che:$\begin{array}{lcccc}& \Rightarrow & x(kh+h)& =& x(kh)+F(x(kh,u(kh))\cdot h\\ & \downarrow & & & \\ & \Rightarrow & x((k+1)h)& =& x(kh)+F(x(kh,u(kh))\cdot h\\ & \downarrow & & & \\ & \Rightarrow & x(k+1)& =& x(k)+F\left(x(k),u(k)\right)\cdot h\end{array}$ Tale approssimazione ha però forti limitazioni, si prenda ad esempio una molla:$F(x,u)=-k_e\cdot x$($k_e$ : coefficiente elastico)
Secondo l’equazione di Eulero, e alla formula che abbiamo visto prima:$x(k+1)=x(k)+F\left(x(k),u(k)\right)\cdot h$Possiamo quindi scrivere che per questo esempio avremo:$\begin{array}{lcc}x(k+1)& =& x(k)+\left(-k_e\cdot x(k)\right)\cdot h\\ & \downarrow & \\ & =& \underset{\begin{array}{l}A\end{array}}{\underbrace{(1-k_e\cdot h)}}x(k)\end{array}$Dove:IMPORTANTE

• $k\in \mathbb{N}$, rappresenta il moltilplicatore dell’instante $h$ ⇒$kh$.
• $k_e$ è il coefficiente elastico

Poiché si è nel caso monodimensionale:$\Rightarrow \mathrm{eig}(A)=(1-k_e\cdot h)$Per la stabiltà si impone che $\left|1-k_e\cdot h\right|<1$. (Ovvero un sistema a tempo discreto $x(k+1)=Ax(k)$ è asintoticamente stabile, o semplicemente stabile se tutti gli autovalori della matrice $A$ hanno modulo (cioè valore assoluto) strettamente minore di $1$. Questo implica che, a lungo termine, le soluzioni del sistema tenderanno a $0$, o a un punto di equilibrio):$\Rightarrow \{\begin{array}{l}1-k_{e}h<1\\ 1-k_{e}h>-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}h>0\\ h<-\frac{2}{k_e}\end{array}\Rightarrow 0<h<-\frac{2}{k_e},k_e\in R^{+}$Dunque più alto è $k_e$ , più $h$ diventa piccolo e peggiore è il real-time. ==Quando si parla di real-time si intende un $h$ abbastanza grande in modo che il calcolatre abbia tempo di appunto calcolare il risultato, o l’approssimazione==. Il fatto che riscontriamo un problema numerico fa capire che l’approssimazione è piuttosto grossolana.

Vediamo invece lo stesso esempio, ma stavolta si utilizza il metodo del mid-point, il quale considera il anche secondo termine derivato dell’espansione. Si supponga di avere un sistema ad evoluzione libera:$x(t_0+h)=x_0+{\frac{dx}{dt}|}_{t_0}\cdot h+{\frac{d{x}^2}{d{t}^2}|}_{t_0}\cdot \frac{h^2}{2}$La derivata seconda è stabilita sempre tramite l’espansione di Taylor svolta su $F$ :$\begin{array}{l}F(x_0+\Delta x)=F(x_0)+\underset{\downarrow }{\underbrace{{\frac{dF}{dx}|}_{x_0}}}\cdot \Delta x\\ \frac{d{x}^2}{dt}=\frac{dF(x(t))}{dt}=\overbrace{\frac{dF(x(t))}{dx}}\cdot \frac{dx}{dt}={\frac{dF}{dx}|}_{x_0}\cdot F(x_0)\end{array}$Dove:${\frac{dF}{dx}|}_{x_0}=\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}$Ma non si conosce $\Delta x$, secondo il metodo del mid-point:$\Delta x=\frac{h}{2}F(x_0)$In modo da semplificare questa espressione. Dunque sostituendo tutto nell’equazione iniziale:$x(t_0+h)=x_0+h\cdot F\left(x_0+\frac{h}{2}F(x_0)\right)$Che possiamo scrivere propiamente in tempo discreto, utilizzando i dati del problema come:$x(k+1)=\left[1-k_{e}h+\frac{h^2}{2}{k}_e^2\right]x(k)$Il termine aggiuntivo $\left(\frac{h^2}{2}{k}_e^2\right)$ permette $h$ maggiori.

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La dinamica in generale degli oggetti è descrivibile attraverso ODE e il problema più grande in simulazione è troncare risolutori di equazioni differenziali al fine di avere il real-time. Si fa dunque uso di semplificazioni.

Un esempio di oggetto dinamico è:
Con ODE:$m\ddot{x}+B\dot{x}+kx=F$Quindi un ODE di 2° ordine e dipende dal tempo. Si approssima ad un sistema di due equazioni differenziali di 1° ordine:$x=\left(\begin{array}{l}x\\ \dot{x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$La dimensione del vettore è pari all’ordine dell’equazione (quindi: $2$). Risolvendolo:$\begin{array}{lcc}& \Rightarrow & {\dot{x}}_1=x_2\\ & \downarrow & \\ & \Rightarrow & m{\dot{x}}_2+B{x}_2+k{x}_1=F\\ & \downarrow & \\ & \Rightarrow & {\dot{x}}_2=\frac{1}{m}\left(-k{x}_1-B{x}_2+F\right)\end{array}$Dunque riconducendo il tutto alla forma $\dot{x}=Ax+Bu$ dove $u=F$ :$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k}{m}& -\frac{B}{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{m}\end{array}\right]F$

Si consideri ora lo spostamento di un oggetto in uno spazio 3D (esempio caso multivariable):$m\ddot{x}=F$Dove: $\dot{x}={\left[\begin{array}{c}xyz\end{array}\right]}^T$Si definisce lo stato:$\lambda ={\left(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}\right)}^T={\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_6\right)}^T$Per passare a $6$ equazioni differenziali di grado $1$:$\begin{array}{lcc}{\dot{\lambda }}_1={\lambda }_4& & {\lambda }_4=\frac{F_x}{m_x}\\ {\dot{\lambda }}_2={\lambda }_5& & {\lambda }_5=\frac{F_y}{m_y}\\ {\dot{\lambda }}_3={\lambda }_6& & {\lambda }_6=\frac{F_z}{m_z}\end{array}$Dove: le componenti $m_x,m_y,m_z$ della massa sono uguali $(m)$, ma quelle dell’inerzia sono diverse:
NOT_SURE_ABOUT_THIS Quali sono i componenti dell'inerzia? $\dot{\lambda }=\left[\begin{array}{cc}{O}_3& I_3\\ O_3& O_3\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{c}{O}_3\\ \begin{array}{ccc}m& 0& 0\\ 0& m& 0\\ 0& 0& m\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right]$Dove:

• $O_3$ è una matrice $[3\times 3]$ di soli $0$.
• $I_3$ è la matrice d’indentità $[3\times 3]$.
• Quindi: $\begin{array}{l}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,0,0,0\right)=\left[\begin{array}{cc}{O}_3& I_3\\ O_3& O_3\end{array}\right]\lambda \\ \left(0,0,0,{\lambda }_4,{\lambda }_5,{\lambda }_6\right)=\left[\begin{array}{c}{O}_3\\ \begin{array}{ccc}m& 0& 0\\ 0& m& 0\\ 0& 0& m\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right]\end{array}$

In generale:$\dot{x}(t)=F(x(t),u(t))$Ma i calcolatori lavorano nel discreto, per cui $\dot{x}(t)$ non esiste propriamente, e:$x(t)\to x(t+kh)\Rightarrow F\left(x(t_0+kh));u(t_0+kh)\right)$Dove:

• $h$ è l’intervallo.
• $k\in \mathbb{N}$ .
• IMPORTANTE Vengono usate le stesse lettere come nell’algoritmo di rendering, ma in questo caso $k$ è un numero puro intero, $h$ è una costante di tempo.

Per determinare $\dot{x}$ si utilizza il metodo di Eulero, il quale consiste nell’approssimare $F$ alla sua espansione di Taylor al primo ordine:$x(t_0+h)=x_0+{\frac{dx}{dt}|}_{t_0}\cdot h=x_0+F\left(x(t_0);u(t_0)\right)\cdot h$N.B.: Se si conoscessro tutte le derivate di $F$ in un punto si potrebbe prevederla in un futuro qualsiasi.

Tale approssimazione ha però forti limitazioni, si prenda ad esempio una molla:$F(x,u)=-kx$ Secondo l’equazione di Eulero:$\begin{array}{lcccc}x(t_0+h)& =& x((k+1)h)& =& x(kh)+F(x(kh,u(kh))h\\ & \downarrow & & & \\ & =& x(k+1)& =& x(k)+\left(-kx(k)\right)h\\ & & & \downarrow & \\ & & & =& \underset{\begin{array}{l}A\end{array}}{\underbrace{(1-kh)}}x(k)\end{array}$Poiché si è nel caso monodimensionale:$\Rightarrow \mathrm{eig}(A)=(1-kh)$Per la stabiltà si impone che $\left|1-kh\right|<1$ :$\Rightarrow \{\begin{array}{l}1-kh<1\\ 1-kh>-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}h>0\\ h<-\frac{2}{k}\end{array}\Rightarrow 0<h<-\frac{2}{k},k\in R^{+}$Dunque più che $k$ è alto, più $h$ diventa piccolo e peggiore è il real-time. Il fatto che si ha un problema numerico fa capire che l’approssimazione è piuttosto grossolana.

Si utilizza dunque il metodo del mid-point, il quale considera il secondo termine derivato dell’espansione.

Si supponga di avere un sistema ad evoluzione libera:$x(t_0+h)=x_0+{\frac{dx}{dt}|}_{t_0}\cdot h+{\frac{d{x}^2}{d{t}^2}|}_{t_0}\cdot \frac{h^2}{2}$La derivata secondo è stabilita sempre tramite l’espansione di Taylor svolta su $F$ :$\begin{array}{l}F(x_0+\Delta x)=F(x_0)+\underset{\downarrow }{\underbrace{{\frac{dF}{dx}|}_{x_0}}}\cdot \Delta x\\ \frac{d{x}^2}{dt}=\frac{dF(x(t))}{dt}=\overbrace{\frac{dF(x(t))}{dx}}\cdot \frac{dx}{dt}={\frac{dF}{dx}|}_{x_0}\cdot F(x_0)\end{array}$Dove:${\frac{dF}{dx}|}_{x_0}=\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}$Ma non si conosce $\Delta x$, secondo il metodo:$\Delta x=\frac{h}{2}F(x_0)$In modo da semplificare questa espressione. Dunque sostituendo tutto nell’equazione iniziale:$...Calcoli...$TODO Riscrivere i calcoli in fondo all pagina Otteremo infine, in tempo “continuo”:$x(t_0+h)=x_0+hF\left(x_0+\frac{h}{2}F(x_0)\right)$Ed in tempo discreto:$x(k+1)=\left[1-kh+\frac{h^2}{2}{k}^2\right]x(k)$Il termine aggiuntivo permette $h$ maggiori.

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• Calcoli per arrivare alla conclusione:
  
  • (TODO Non ho voglia di riscriverla per bene, ma da notare che nelle note viene scritto $Ke$ o $K_e$ il termine $e$ viene usato per distinguere questo il coeffiente d'attrito trovato in precedenza, in ongi caso questi termini io li ho scritti in queste note come: $k$ E HO SBAGLIATO, è utile differenziarli, ci sarebbero da riscriverli tutti )