HCR - Calcoli per la Minimizzazione di una Distanza

Ricorda:

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Calcoli per la Minimizzazione di una Distanza

Se $x_h$ si trova all’interno della superficie si può rispondere con una forza normale alla superficie:
È necessario ininnazitutto trovare $x_p$ il punto a distanza minore a $x_h$ sulla superficie in quanto:$F=k(x_h-x_p)$Trovare $x_p$ è un problema di minimizzazione sulla distanza, dunque:$d=\sqrt{(x_p-x_h{)}^T\cdot (x_p-x_h)}$Facendo i seguenti passaggi: $\begin{array}{l}1.{\min }_{\left(x_p\right)}d={\min }_{\left(x_p\right)}\frac{1}{2}{d}^2\\ 2.{\min }_{\left(x_p\right)}\sqrt{(x_p-x_h{)}^T\cdot (x_p-x_h)}\\ 3.\left(\text{Apllicando il metodo di Lagrange}\right)\\ \to {\min }_{\left(x_p,\lambda \right)}\frac{1}{2}{\left(x_p-x_h\right)}^T\cdot \left(x_p-x_h\right)+\lambda \left[\left(abc\right)x_p-d\right]\end{array}$ Dove:

• $\lambda$ è uno scalare.
• Il “metodo di Lagrange” viene anche chiamato “Lagrangiana”.
• $x_p$ appartiene al piano/triangolo, quindi possiamo scrivere: come “condizione” della lagrangiana: $g(x)=(abc)x_p-d=0$Che sta a significare appunto che $x_p$ fa parte del piano/triangolo.
• Ricorda che $d$ è una variabile, dipendente da $x_p$, la nostra incognita, ed $x_h$ vettore avatar che conosciamo/abbiamo stimato.
• Ricorda inoltre che il versore normale $\hat{n}$ del piano/triangolo è definito come:$\hat{n}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}(abc)$

Definiamo:$Q(x_p,\lambda )=\frac{1}{2}{\left(x_p-x_h\right)}^T\cdot \left(x_p-x_h\right)+\lambda \left[\left(abc\right)x_p-d\right]$Troveremo l’ottimo risolvendo il seguente sistema:$\{\begin{array}{l}\frac{\partial Q}{\partial x_p}=\left(x_p-x_h\right)-\lambda {\left(abc\right)}^T=0\\ \frac{\partial Q}{\partial \lambda }=\left(abc\right)x_p-d=0\end{array}$Che possiamo riscrivere come:$\{\begin{array}{l}{x}_p-{\left(abc\right)}^T\lambda =x_h\\ \left(abc\right)x_p+0\cdot \lambda =d\end{array}$In fine lo possiamo riscrivere in forma di matrice:$\left[\begin{array}{cc}{I}_{3\times 3}& \begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\\ \begin{array}{lcc}a& b& c\end{array}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ d\end{array}\right]$Ricorda che:

• $d$ è una variabile e si esprime in funzione di $x_p$.

Per quanto riguarda $k$, deve essere alto in modo che la forza sia sufficiente, ma non abbastanza da permettere deformazioni eccessive. Bisogna però distinguere tra il $k$ del materiale reale e quello assunto dalla simulazione il quale sarà sempre minore per le limitazioni nella rappresentazione. $k$ deve essere sufficente alto da evitare l’incrocio in quanto si hanno più punti di contatto. Si usa un ulteriore $k$ diverso se la superficie è deformabile, e se viene deformata.

N.B.: Abbiamo chiamato $k$ in modo generale (coefficiente d’attrito generico), ma nelle prossime formule, andremo a definire:
NOT_SURE_ABOUT_THIS Non sono sicuro che quello che dico qui sia effettivamente la definizione di $k_0$ e $k_h$

• $k_0$ : coefficiente d’attrito reale (stimato) tra l’end-effector e la superficie da toccare/prendere.
• $k_h$ : coefficiente aptico, deciso arbitrariamente, il $k$ di cui si parla poco sopra è probabilmente questo $k_h$.

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