HCR - Force Feedback (Lecture)

Ricorda: #NOT_SURE_ABOUT_THIS Tutto quello che dirò in questo segmento è basato su idee e conclusioni personali, niente di tutto ciò è stato revisionato dal professore

Componente Normale della Forza:$F_N=N^{T}FN=N{N}^{T}F$Dove:

• $N^{T}F$ è il modulo della componente normale e $N$ il vettore normale alla superficie.
  NOT_SURE_ABOUT_THIS Probabilmente $N$ è il versore normale alla superficie.

Componente Tangente o Trasverso della Forza:$\begin{array}{lcc}{F}_T& =& F-F_N\\ & \downarrow & \\ & =& F-N{N}^{T}F\\ & \downarrow & \\ & =& \left(I-N{N}^T\right)F\end{array}$

Partendo dalla formula trovata in precedenza:$F=k(x_h-x_p)$Definiamo $k_h$ il “coefficente elastico dell’interfaccia aptica” (${}_h$ : haptic), e cambiamo leggermente la precedente formula in:$F=k_h\left[x_h(k)-x_p(h)\right]$Che rappresenta la forza esercitata per muovere l’oggetto virtuale e di conseguenza la forza reattiva esercitata dagli attuatori sulle dita sarà:$F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$(Ovvero l’opposto)

Algoritmo di Force Feedback:

• Setup
  1. Partiamo sapendo la posizione $x_h$, e il triangolo/piano che stiamo toccando.
  2. Troviamo $x_p$ come abbiamo visto precedentemente.
  3. Troviamo $F$ : la forza reattiva esercitata sull’end-effector, usando la seguente formula:$F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$Dove: $k_h$ è un coefficente elastico stiamato dell’oggetto, se l’oggetto è rigido sarà più alto, se l’oggetto è morbido sarà più basso.
• Vediamo ora come possiamo descrivere l’evoluzione della posizione dell’end-effector nel discreto:
  1. Se l’oggetto è rigido, ovvero non è deformabile, avremo che $\forall k$, possiamo dire:$x_o(k)=x_p(k)$Mentre se l’oggetto è deformabile, averemo che la posizione dell’end-effector nel mondo virtuale $(x_0)$ cambierà in base alla posizione che assume nel mondo reale $(x_h)$, maggiori spiegazioni su queste variabili di seguito:$x_o(k+1)=f(x_h(k))$Dove, prendiamo l’esempio di un gioco in realtà virtuale:
     • $x_0$ : rappresenta la posizione che vediamo nello schermo/mondo virtuale della mano/end-effector.
     • $x_h$ : la posizione nel mondo reale della mano/end-effector.
     • $x_p$ : il punto a distanza minima del triangolo/piano dell’oggetto con cui stiamo interagendo ed $x_h$ (definizione data precedentemente).
     • $k_h$ : è il coefficiente elastico dato per restituire un force feedback all’utente, sulla base di $x_p$ ed $x_h$.
     • $k_0$ : è il coefficiente elastico che viene definito per deformare l’oggetto virtuale, data $F$ (il force feedback).
  2. Definiamo $\Delta x=x_0(k+1)-x_0(k)$ e definiamo inoltre un $k_0$ tale per cui: $\Delta x=\frac{F}{k_0}$Dove, $k_0$ nella simulazione può essere fissato stimando quello reale, ma è diverso da quello dell’interfaccia aptica ($k_h$), quindi possiamo dire che:$\begin{array}{lcc}{x}_0(k+1)& =& x_0(k)+\Delta x\\ & \downarrow & \\ & =& x_0(k)+\frac{1}{k_0}F\\ & \downarrow & \\ & =& x_0(k)+\frac{k_h}{k_0}\left[x_h(k)-x_p(k)\right]\end{array}$Dunque avremo che:
     • La forza necessaria per ottenere una deformazione $\Delta x$ è:$F=k_o\cdot \left|x_o(k)-x_o(k+1)\right|$• Mentre la forza che resituiremo in feedback all’utente è pari a:$F=k_h\cdot \left|x_h(k)-x_p(k)\right|$Dove:
     • Per corpi rigidi, $k_h\ne 0$ e $k_0=0$ in quanto non si deve avere una deformazione, ovvero per $k_0=0\Rightarrow F=\infty$, per deformare un corpo rigido sarebbe necessaria una forza infinita, ma ovviamente per non far male all’utente, (non possiamo rispondere con una forza troppo alta) quindi è necessario rispondere con una forza finita (ricorda che la forza reattiva è $F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$).
     • Per corpi morbidi, $k_h\ne 0$ e $k_0\ne 0$, e $k_h=k_0$, allora avremmo lo stesso spostamento per entrambe.

Si consideri l’implementazione di questi risultati per creare un simulatore, innanzitutto è necessario costruire un sistema a controreazione che sia asintoticamente stabile:
Ovvero:$\begin{array}{lcc}Z[x_0(k+1)]& =& \frac{k_h}{k_0}\frac{1}{1+\frac{k_h}{k_0}z}\cdot Z[x_0(k)]\\ & \downarrow & \\ & =& \frac{k_{h}z}{k_{0}z+k_h}\cdot Z[x_h(k)]\end{array}$Si ha un polo in $-\frac{k_h}{k_0}$ che deve essere stabile, dunque:$\left|\frac{k_h}{k_0}\right|<1\Rightarrow k_h<k_0$Per stabilità si intende che: ==al tocco di un oggetto virtuale, la parte di superficie coinvolta si stabilizza ad un certo valore==. In realtà il sistema non ha dinamica ma la assume in simulazione, dal momento che i calcolatori campionano e aggiornano il sistema secondo diversi valori della forza Come si può vedere in oltre se il corpo è rigido, ergo per $k_0=0$ avremo che $x_0(k+1)=x_0(k)$ ovvero non penetremo la superficie iniziale (in quanto non deformabile)

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Finora si è trascurato l’attrito in quanto la forza applicata si assumeva perpendicolare alla superficie dunque la forza tangente è nulla. Tenendo conto dell’attrito, data una forza non diretta lungo la normale, la forza reattiva, la quale è esattametne uguale e opposta, deve ricadere nel cono d’attrito. Essa dunque è esprimibile come la somma dei componenti normale e tangente alla superficie:$F_N=N^{T}FN=N{N}^{T}F$Dove:

• $N^{T}F$ è il modulo della componente normale e $N$ il vettore normale:
  
  • Come possiamo vedere $F$ o $-F$ deve ricadere nel cono di attrito, altrimenti l’oggetto scivolerebbe dalla presa, nel caso in cui $F$ non ha componenti tangenti, avremo che ricadrà per forza nel cono di attrito.
    In questo caso invece con $F_T\ne 0$ non è detto.

Da $F=F_N+F_T$ (forza normale + forza tangente):$\begin{array}{lcc}{F}_T& =& F-F_N\\ & \downarrow & \\ & =& F-N{N}^{T}F\\ & \downarrow & \\ & =& \left(I-N{N}^T\right)F\end{array}$

Secondo l’algoritmo di rendering $\left(F=k(x_h-x_p)\right)$ avremo che:

• $F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$ : è la forza reattiva esercitata dagli attuatori sulle dita.
• $F=k_h\left[x_h(k)-x_p(h)\right]$ : è la forza esercitata per muovere l’oggetto virtuale.
  • $k_0$ : stima del coefficente elastico reale.
  • $k_h$ : coefficente elastico dell’interfaccia aptica (${}_h$ : haptic)
• Un esempio sono: $J^{T}F=\tau$ e $F=M\ddot{x}$, forze uguali e contrarie.

• NOT_SURE_ABOUT_THIS Non riesco a capire questa figura, l'origne (O) non è sull'oggetto??? La distanza $\overline{x_p{x}_h}$ cosa vuol dire? E la distanza $\overline{x_0{x}_h}$ è per caso la deformazione???
• NOT_SURE_ABOUT_THIS Conclusioni/Spiegazione trovata arbitrariamente, non verificata
  1. Partiamo sapendo la posizione $x_h$, e il triangolo/piano che stiamo toccando.
  2. Troviamo $x_p$ come abbiamo visto precedentemente.
  3. $F$ è la forza reattiva esercitata sull’end-effector, trovata usando la seguente formula: $F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$Dove: $k_h$ è un coefficente elastico stimato dell’oggetto, se l’oggetto è rigido sarà più alto, se l’oggetto è morbido sarà più basso.
  4. L’origine $O$ e la posizione $x_0$ è la posizione passata/precendete dell’end-effector.

Si consideri un oggetto rigido e si rappresenti il punto di contatto come una sfera di raggio nullo:
Cioè:$x_o(k)=x_p(k)$Allora $x_o(k+1)=x_p(k)$ e non dipende da $x_h$ in quanto la superficie è non deformabile e l’oggetto è statico.

Si consideri ora un oggetto deformabile:$x_o(k+1)=f(x_h(k))$(Con $f$ una funzione qualsiasi) Il modello più semplice per gli oggetti deformabile è la molla:
Per capire la figura:NOT_SURE_ABOUT_THIS Di sotto si trovano tutte spiegazioni che mi sono dato, non sono verificate e probabilemente sbagliate.

• Nella prima figura definiamo $x_0=x_p$, in quanto abbiamo considerato una sfera di raggio nullo.
• Nel secondo caso, andimo a deformare l’oggetto, quindi avremo uno spostamento del vettore $x_0$, ovvero $x_0(k+1)\ne x_0(k)$, vediamo ora come definire questo spostamento

Definiamo $\Delta x=x_0(k+1)-x_0(k)$ e definiamo inoltre un $k_0$ tale per cui: $\Delta x=\frac{F}{k_0}$Dove $k_0$ nella simulazione può essere fissato stimando quello reale della deformazione ma è diverso da quello dell’interfaccia aptica ($k_h$), quindi possiamo dire che:$\begin{array}{lcc}{x}_0(k+1)& =& x_0(k)+\Delta x\\ & \downarrow & \\ & =& x_0(k)+\frac{1}{k_0}F\\ & \downarrow & \\ & =& x_0(k)+\frac{k_h}{k_0}\left[x_h(k)-x_p(k)\right]\end{array}$Dunque la forza necessaria per ottenere tale deformazione è:$\begin{array}{lcc}F& =& k_h\cdot \left|x_h(k)-x_p(k)\right|\\ & \downarrow & \\ & =& k_o\cdot \left|x_o(k)-x_o(k+1)\right|\end{array}$Dove:

• Per corpi rigidi, $k_h\ne 0$ e $k_0=0$ in quanto non si deve avere una deformazione, ovvero per $k_0=0\Rightarrow F=\infty$, per deformare un corpo rigido sarebbe necessaria una forza infinita, ma ovviamente per non far male all’utente, (non possiamo rispondere con una forza troppo alta) quindi è necessario rispondere con una forza finita (ricorda che la forza reattiva è $F=k_h\left[x_p(k)-x_h(k)\right]$).
• Per corpi morbidi, $k_h\ne 0$ e $k_0\ne 0$, e $k_h=k_0$, allora avremmo lo stesso spostamento per entrambe.

Si consideri l’implementazione di questi risultati per creare un simulatore, è necessario costruire un sistema a controreazione che sia asintoticamente stabile:

Ovvero:$\begin{array}{lcc}Z[x_0(k+1)]& =& \frac{k_h}{k_0}\frac{1}{1+\frac{k_h}{k_0}z}\cdot Z[x_0(k)]\\ & \downarrow & \\ & =& \frac{k_{h}z}{k_{0}z+k_h}\cdot Z[x_h(k)]\end{array}$Si ha un polo in $-\frac{k_h}{k_0}$ che deve essere stabile, dunque:$\left|\frac{k_h}{k_0}\right|<1\Rightarrow k_h<k_0$Per stabilità si intende che: ==al tocco di un oggetto virtuale, la parte di superficie coinvolta si stabilizza ad un certo valore==. In realtà il sistema non ha dinamica ma la assume in simulazione, dal momento che i calcolatori campionano e aggiornano il sistema secondo diversi valori della forza. Come si può vedere in oltre se il corpo è rigido, ergo per $k_0=0$ avremo che $x_0(k+1)=x_0(k)$ ovvero non penetremo la superficie iniziale (in quanto non deformabile)