HCR - Calcolo della Matrice Jacobiana 'della Mano'

• Come si calcola la “Matrice Jacobiana della Mano”, spiegazione ed esempi:
  (ChatGPT 4o)
  • La matrice Jacobiana della mano (o più semplicemente matrice Jacobiana) in robotica si riferisce alla matrice che descrive la relazione tra le velocità dei giunti di un manipolatore robotico (in questo caso, la “mano” o l’end-effector) e la velocità lineare e angolare dell’end-effector stesso.
    Essa è fondamentale per controllare i movimenti della mano robotica e determinare come le velocità e le forze applicate ai giunti influiscono sulla posizione e l’orientamento della mano.
  • Calcolo della Matrice Jacobiana della Mano:
    Per calcolare la matrice Jacobiana della mano, è necessario conoscere la cinematica diretta del manipolatore robotico, cioè le equazioni che descrivono la posizione e l’orientamento della mano in funzione degli angoli dei giunti.
    • Supponiamo che il manipolatore robotico abbia $n$ giunti, dove ogni giunto può ruotare (giunto revoluto) o traslare (giunto prismatico).
      La Jacobiana è una matrice $6\times n$, dove:
    • Le prime 3 righe rappresentano la relazione tra le velocità angolari dei giunti e la velocità lineare dell’end-effector.
    • Le ultime 3 righe rappresentano la relazione tra le velocità angolari dei giunti e la velocità angolare dell’end-effector.$J(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial x}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial x}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial x}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial y}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial y}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial y}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial z}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial z}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial z}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial {\varphi }_x}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial {\varphi }_x}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial {\varphi }_x}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial {\varphi }_y}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial {\varphi }_y}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial {\varphi }_y}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial {\varphi }_z}{\partial {\theta }_1}& \frac{\partial {\varphi }_z}{\partial {\theta }_2}& \dots & \frac{\partial {\varphi }_z}{\partial {\theta }_n}\end{array}\right]$Dove:
    • $x,y,z$ sono le coordinate della posizione dell’end-effector.
    • ${\varphi }_x,{\varphi }_y,{\varphi }_z$ sono gli angoli di rotazione (orientamento) dell’end-effector.
    • ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n$ sono le variabili di configurazione (ad esempio, gli angoli di rotazione o traslazione dei giunti).
  • Passaggi per il Calcolo della Jacobiana:
    1. Cinematica diretta:
       • Determina le equazioni che descrivono la posizione $x(\theta )$, $y(\theta )$, e $z(\theta )$ dell’end-effector in funzione degli angoli o traslazioni dei giunti.
    2. Derivazione parziale:
       • Per calcolare ogni elemento della Jacobiana, prendi la derivata parziale della posizione o dell’orientamento dell’end-effector rispetto a ciascun angolo o traslazione del giunto.
         Questo darà la sensibilità della posizione dell’end-effector rispetto ai movimenti di ciascun giunto.
    3. Costruzione della Jacobiana:
       • Organizza le derivate parziali in una matrice $6\times n$, dove $n$ è il numero di giunti.
         Le prime 3 righe rappresentano la velocità lineare (posizione), mentre le ultime 3 righe rappresentano la velocità angolare (orientamento).
  • Esempio: Braccio Robotico a 2 Giunti:
    • Consideriamo un semplice braccio robotico con due giunti revoluti, che si muove in un piano 2D.
      Ogni giunto ha un angolo di rotazione ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$, e le lunghezze dei segmenti sono $L_1$ e $L_2$.
    • La cinematica diretta (cioè la posizione dell’end-effector) è data da:$\begin{array}{l}x=L_1\cos ({\theta }_1)+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ y=L_1\sin ({\theta }_1)+L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}$Ora, calcoliamo le derivate parziali rispetto a ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$:
    1. Derivate parziali rispetto a ${\theta }_1$:$\begin{array}{l}\frac{\partial x}{\partial {\theta }_1}=-L_1\sin ({\theta }_1)-L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ \frac{\partial y}{\partial {\theta }_1}=L_1\cos ({\theta }_1)+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}$
    2. Derivate parziali rispetto a ${\theta }_2$:$\begin{array}{l}\frac{\partial x}{\partial {\theta }_2}=-L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ \frac{\partial y}{\partial {\theta }_2}=L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}$La Jacobiana per questo manipolatore $2D$ è quindi:$J(\theta )=\left[\begin{array}{cc}-L_1\sin ({\theta }_1)-L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)& -L_2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\\ L_1\cos ({\theta }_1)+L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)& L_2\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\end{array}\right]$Questa Jacobiana descrive la relazione tra le velocità dei giunti ($\dot{{\theta }_1},\dot{{\theta }_2}$) e la velocità dell’end-effector $(\dot{x},\dot{y})$ nel piano 2D.
  • Uso della Matrice Jacobiana:
    1. Velocità dell’End-Effector:
       • Se conosci le velocità dei giunti $\dot{\theta }$, puoi calcolare la velocità dell’end-effector $\dot{x}$ come:$\dot{x}=J(\theta )\cdot \dot{\theta }$
    2. Forze e Momenti:
       • La Jacobiana è anche utilizzata per calcolare come le forze applicate all’end-effector si traducono in momenti torcenti sui giunti:$\tau =J^T(\theta )\cdot F$Dove $\tau$ è il vettore dei momenti torcenti sui giunti e $F$ è il vettore delle forze applicate sull’end-effector.
    3. Analisi delle Singolarità:
       • Le singolarità si verificano quando la Jacobiana perde rango (cioè, quando una o più righe diventano linearmente dipendenti).
         In questi casi, il robot perde la capacità di muoversi liberamente in alcune direzioni, rendendo difficile il controllo dell’end-effector.
  • Esempio Esteso: Manipolatore 3D con 6 Giunti:
    • Un robot con 6 gradi di libertà (DOF) che lavora nello spazio tridimensionale può essere descritto da una Jacobiana $6\times 6$.
      Per esempio, in un braccio robotico con sei giunti (come i bracci robotici industriali), la Jacobiana completa tiene conto delle 3 componenti della velocità lineare $(x,y,z)$ e delle 3 componenti della velocità angolare $({\varphi }_x,{\varphi }_y,{\varphi }_z)$.
    • Per calcolare la Jacobiana in 3D, si procede come nei casi precedenti, ma con:
    • Derivate parziali rispetto agli angoli dei giunti per le componenti di posizione $(x,y,z)$.
    • Derivate parziali per le componenti di orientamento $({\varphi }_x,{\varphi }_y,{\varphi }_z)$.
  • Sintesi:
    • La matrice Jacobiana della mano in robotica rappresenta il legame tra le velocità dei giunti del manipolatore e la velocità dell’end-effector.
      Si ottiene calcolando leDove $\tau$ è il vettore dei momenti torcenti sui giunti e $F$ è il vettore delle forze applicate sull’end-effector.
    3. Analisi delle Singolarità:
       • Le singolarità si verificano quando la Jacobiana perde rango (cioè, quando una o più righe diventano linearmente dipendenti).
         In questi casi, il robot perde la capacità di muoversi liberamente in alcune direzioni, rendendo difficile il controllo dell’end-effector.

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